Progressão Aritmética: o que você realmente precisa saber
PA é um dos temas que mais aparecem em concursos e no ENEM, mas a maioria dos estudantes trava porque tenta decorar fórmulas sem entender o que cada variável representa na prática. Eu já vi gente perder pontos por confundir posição do termo com índice, por exemplo. O problema não é a matemática em si. É a forma como o conteúdo costuma ser ensinado. O que segue aqui é material didático com 30 exercícios de pa resolvidos, organizados por nível de dificuldade e tipo de questão. Cada exercício vem com o passo a passo completo. Se você quer apenas a lista de respostas para conferir, também está ali.
30 exercícios de pa resolvidos
Vamos começar pelo essencial. A fórmula do termo geral é a_n = a + (n-1)r, onde a é o primeiro termo, r é a razão e n é a posição que você quer encontrar. A soma dos n primeiros termos é S = n/2 · (a + a) ou, equivalentemente, S = n/2 · [2a + (n-1)r]. Ambas as versões são úteis em situações diferentes. A primeira quando você já conhece o último termo. A segunda quando conhece o primeiro e a razão. Um detalhe que poucos explicam direito: a razão pode ser negativa. Sequências decrescentes aparecem com frequência em questões de aplicação, como juros compostos com depreciação ou problemas de altura que diminui a cada etapa. Não trate r sempre como positivo.
Exercícios nível básico (1 a 10)
1. Determine o 10º termo da PA (3, 7, 11, ...). a = 3, r = 7 - 3 = 4. a = 3 + (10-1)·4 = 3 + 36 = 39.
2. Calcule a soma dos 20 primeiros termos da PA (5, 9, 13, ...). r = 4. a = 5 + 19·4 = 81. S = 20/2 · (5 + 81) = 10 · 86 = 860.
3. Encontre o primeiro termo de uma PA onde a = 23 e r = 4. a = a + 4r 23 = a + 16 a = 7.
4. Qual a razão da PA (18, 15, 12, 9, ...)? r = 15 - 18 = -3. Note o sinal negativo. Sequência decrescente.
5. Determine o termo geral da PA (2, 6, 10, 14, ...). a = 2, r = 4. a = 2 + (n-1)·4 = 4n - 2.
6. Calcule a soma dos 15 primeiros termos da PA (1, 4, 7, ...). r = 3. a = 1 + 14·3 = 43. S = 15/2 · (1 + 43) = 15/2 · 44 = 330.
7. Em uma PA, a = 11 e a = 27. Determine a e r. a - a = (7-3)r 27 - 11 = 4r r = 4. a = a - 2r = 11 - 8 = 3. Resposta: a = 3 e r = 4.
8. Quantos termos tem a PA (7, 11, 15, ..., 71)? r = 4. 71 = 7 + (n-1)·4 64 = (n-1)·4 n-1 = 16 n = 17.
9. Interpole cinco termos médios entre -4 e 20. Se são 5 termos entre dois extremos, temos 7 termos no total. r = (20 - (-4)) / 6 = 24/6 = 4. PA: (-4, 0, 4, 8, 12, 16, 20).
10. A soma dos primeiros n termos de uma PA é S = 3n² + 2n. Qual o primeiro termo? S = 3(1)² + 2(1) = 5. Então a = 5. Para confirmar, S = 3(4) + 4 = 16, logo a = 16 - 5 = 11, e r = 6. O termo geral seria a = 5 + (n-1)·6 = 6n - 1.
Exercícios nível intermediário (11 a 20)
11. Os lados de um triângulo formam uma PA de razão 3. Se o perímetro é 36, quais são os lados? Sejam os lados: a-r, a, a+r. (a-3) + a + (a+3) = 36 3a = 36 a = 12. Lados: 9, 12, 15. Verificação triangular: 9 + 12 > 15 . Resposta: 9, 12 e 15.
12. Um atleta corre 2km no primeiro dia e aumenta 0.5km diariamente. Quanto correrá no dia 21? a = 2, r = 0.5. a = 2 + 20·0.5 = 12 km.
13. Determine n sabendo que a soma dos n primeiros termos da PA (2, 5, 8, ...) é 155. S = n/2 · [2·2 + (n-1)·3] = 155 n/2 · (4 + 3n - 3) = 155 n(3n + 1) = 310 3n² + n - 310 = 0. Resolver a equação: n = [-1 ± (1 + 3720)]/6 = [-1 ± 61]/6. n = 60/6 = 10 (descarta-se o negativo).
14. A média aritmética dos termos de uma PA é igual a qual termo? A média dos termos de uma PA com número ímpar de termos é o termo central. Com número par de termos, é a média dos dois termos centrais. Em ambos os casos, a média dos termos é S/n = (a + a)/2, que corresponde exatamente ao termo médio da sequência simétrica.
15. Três números em PA somam 30 e seu produto é 720. Quais são esses números? Sejam os números: a-r, a, a+r. (a-r) + a + (a+r) = 30 3a = 30 a = 10. Produto: (10-r)·10·(10+r) = 720 10(100 - r²) = 720 100 - r² = 72 r² = 28 r = ±28 = ±27. Números: (10-27, 10, 10+27). Em forma decimal aproximada: ~5,70; 10; ~14,30.
16. Uma PA tem a = 17 e a = 41. Calcule a e r, e depois o termo médio entre a e a. a - a = 6r 41 - 17 = 6r r = 4. a = 17 - 3·4 = 5. Termo médio entre a e a: (a + a)/2 = (17 + 41)/2 = 29. Também dá para verificar: a = 5 + 6·4 = 29 .
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17. Calcule a soma dos 50 primeiros números naturais pares. Números pares: 2, 4, 6, ..., 100. PA com a = 2, r = 2, n = 50. a = 100. S = 50/2 · (2 + 100) = 25 · 102 = 2550.
18. Em uma PA, a + a + a = 21 e a + a + a = 57. Determine a razão. a + a + a = 3a + 3r = 21 a + r = 7. a + a + a = 3a + 12r = 57 a + 4r = 19. Subtraindo: 3r = 12 r = 4. E a = 3.
19. Quantos múltiplos de 7 existem entre 100 e 500? Menor múltiplo de 7 100: 105 = 7·15. Maior múltiplo de 7 500: 497 = 7·71. A sequência dos múltiplos forma uma PA onde os índices vão de 15 a 71. Número de termos = 71 - 15 + 1 = 57.
20. Um reservatório vaza de forma que a quantidade de água perdida forma uma PA. No primeiro dia perde 10L, no segundo 14L, e assim por diante. Em quantos dias perderá um total de 440L? a = 10, r = 4. S = n/2 · [20 + (n-1)·4] = 440 n/2 · (4n + 16) = 440 n(2n + 8) = 440 2n² + 8n - 440 = 0 n² + 4n - 220 = 0. n = [-4 ± (16 + 880)]/2 = [-4 ± 30]/2. n = 13 dias. 13 dias.
Exercícios nível avançado (21 a 30)
21. Encontre a soma de todos os termos da PA (100, 95, 90, ..., -50). a = 100, r = -5. Encontrar n: -50 = 100 + (n-1)(-5) -150 = -(n-1)·5 n-1 = 30 n = 31. S = 31/2 · (100 + (-50)) = 31/2 · 50 = 775.
22. Se a, a, a formam uma PA e a·a·a = 216 e a + a + a = 18, determine a PA. Sejam a = a, r = d. Números: a-d, a, a+d. Soma: 3a = 18 a = 6. Produto: (6-d)·6·(6+d) = 216 6(36 - d²) = 216 36 - d² = 36 d² = 0 d = 0. PA: (6, 6, 6). É uma PA constante. Pode parecer estranho, mas é a única solução.
23. A soma dos termos de posições ímpares de uma PA com 10 termos é 120, e a soma dos termos de posições pares é 150. Determine a e r. Termos ímpares: a, a, a, a, a. São 5 termos que formam uma PA com razão 2r. Soma = 5/2 · (2a + 4·2r) = 5(a + 4r) = 120 a + 4r = 24. Termos pares: a, a, a, a, a. Soma = 5/2 · (2(a+r) + 4·2r) = 5(a + 5r) = 150 a + 5r = 30. Subtraindo: r = 6, a = 0. Resposta: a = 0 e r = 6.
24. Uma PA tem razão r = 3. Sabendo que a soma dos termos pares é 165 e o número total de termos é 10, calcule o primeiro termo. Termos pares: a, a, a, a, a. São 5 termos em PA com razão 2r = 6. a = a + 3. Soma = 5/2 · [2(a+3) + 4·6] = 5/2 · (2a + 6 + 24) = 5/2 · (2a + 30) = 5(a + 15) = 165 a + 15 = 33 a = 18.
25. Determine k para que os números (k-1), (2k+1), (5k-2) formem uma PA. Condição: a - a = a - a (2k+1) - (k-1) = (5k-2) - (2k+1) k + 2 = 3k - 3 5 = 2k k = 2,5. Verificação: termos são 1,5; 6; 10,5. Razão = 4,5 .
26. Calcule a soma: 1 + 4 + 7 + 10 + ... + 97. PA com a = 1, r = 3. 97 = 1 + (n-1)·3 96 = 3(n-1) n = 33. S = 33/2 · (1 + 97) = 33/2 · 98 = 1617.
27. O vigésimo termo de uma PA é 53 e a razão é 3. Qual é a soma dos 20 primeiros termos? a = 53 - 19·3 = 53 - 57 = -4. S = 20/2 · (-4 + 53) = 10 · 49 = 490.
28. Se a razão de uma PA é o triplo do primeiro termo, e a = 40, determine a PA completa até o 7º termo. r = 3a. a = a + 4r = a + 4·3a = 13a = 40 a = 40/13. r = 120/13. Terms: 40/13, 160/13, 280/13, 400/13, 520/13, 640/13, 760/13. Em forma decimal aproximado: ~3,08; ~12,31; ~21,54; ~30,77; ~40; ~49,23; ~58,46.
29. Três números em PA somam 60. Se o primeiro aumentar 2, o segundo aumentar 3 e o terceiro permanecer o mesmo, os novos números formam uma PG. Encontre a PA original. Sejam os termos: a-r, a, a+r. Soma = 3a = 60 a = 20. Novos números: 22-r, 23, 20+r. Para serem PG: 23² = (22-r)(20+r) 529 = 440 + 22r - 20r - r² 529 = 440 + 2r - r² r² - 2r + 89 = 0. Discriminante: 4 - 356
0. Nenhuma solução real. Reavaliando: talvez a ordem da PG não exija que 23 seja o termo do meio. Vou testar o caso em que a razão do PG é negativa ou a ordem é diferente. Se os termos da PG forem (22-r), (20+r), 23: (20+r)² = 23(22-r) 400 + 40r + r² = 506 - 23r r² + 63r - 106 = 0. Ainda complicado. Voltando à primeira configuração: preciso verificar meu cálculo. 529 - 440 = 89, não -89. Logo r² - 2r - 89 = 0 r = [2 ± (4+356)]/2 = [2 ± 360]/2 = [2 ± 610]/2 = 1 ± 310. Razoavelmente próximo de 10,25 ou -8,25. PA: ~9,75; 20; ~30,25. Ou PA: ~28,25; 20; ~11,75.
30. Um ciclista percorre 5km na primeira hora, 8km na segunda, 11km na terceira, e assim sucessivamente. Qual a distância total percorrida em 12 horas? PA com a = 5, r = 3, n = 12. S = 12/2 · [2·5 + 11·3] = 6 · [10 + 33] = 6 · 43 = 258 km.
Dicas práticas que ninguém conta
A maior armadilha em exercícios de PA não é o cálculo em si. É identificar corretamente o que é dado e o que precisa ser encontrado. Muitos estudantes erram na hora de montar a equação porque confundem n com o valor do termo. Por exemplo, se a pergunta pede o 10º termo, n = 10. Não use n = 9. O (n-1) da fórmula já cuida disso. Outro ponto: quando o exercício menciona "soma dos termos pares" ou "soma dos termos ímpares", trate esses subconjuntos como novas PAs com razão 2r. Isso simplifica muito o problema em vez de somar termo por termo.
Também é comum ver questões que misturam PA e PG no mesmo enunciado. A dica é escrever todas as condições como equações antes de tentar qualquer coisa. Se três números formam uma PA e seu produto é dado, parametrizar como (a-r, a, a+r) sempre mais eficiente do que usar (a, a+r, a+2r). Um erro frequente que eu vejo frequentemente: quando pedem para interpolar meios geométricos ou aritméticos, o estudante esquece de verificar se a sequência resultante satisfaz TODAS as condições. No exercício 9, por exemplo, depois de encontrar a PA, conferi que o último termo realmente era 20. Leva 10 segundos e evita perda de ponto.
Sobre a ferramenta de resolução automática: existem geradores online de exercícios de PA, mas a maioria não mostra o desenvolvimento. O que vale mesmo é fazer o cálculo manualmente. A única exceção é quando você está revisando para prova e quer checar rapidamente dezenas de exercícios — aí uma calculadora de PA pode economizar tempo, desde que você entenda o processo por trás. Se quiser imprimir uma lista comentada ou baixar os 30 exercícios de pa resolvidos em formato PDF, procure por materiais de universidades federais que disponibilizam listas de exercícios gratuitas. USP, Unicamp e UFRJ têm arquivos acessíveis. Evite sites que cobram por conteúdo que está amplamente disponível gratuitamente.
O importante é praticar com variedade. Comece pelos básicos para fixar as fórmulas, passe pelos intermediários para ganhar fluência, e termine com os avançados para desenvolver a habilidade de modelagem — que é o que realmente cai em provas mais difíceis.
