Como resolver problemas de pontos em triângulos
Quando você vê um enunciado como considere no triangulo abc abaixo os pontos p e ab, na maioria das vezes o problema pede para encontrar comprimentos, razões ou ângulos usando os pontos colocados sobre os lados. A estrutura é simples, mas existem pegadinhas que aparecem sempre nas mesmas formas.considere no triangulo abc abaixo os pontos p e ab
A primeira coisa é desenhar o triângulo. Não confie na figura que vêm impressa. A figura pode estar propositalmente desenhada de forma que pontos pareçam estar em lugares que não estão. Eu perdi dois pontos numa prova de olimpíada por confiar cegamente num desenho onde o ponto P parecia estar no meio de AB, mas o enunciado dizia que AP/PB era 2/3. O desenho estava com razão 1/1. Desenhe rápido à mão, marque os dados com variáveis, e resolva com geometria sintética ou coordenadas, dependendo do que o problema pede. O método mais confiável é colocar o triângulo num plano cartesiano ou usar vetores. Se o problema envolve razões entre segmentos, o Teorema de Menelao ou Ceva resolve a maior parte dos casos em uma linha. Se envolve áreas, use a proporção entre bases quando os triângulos compartilham a mesma altura. Se envolve paralelismo, semelhança de triângulos é o caminho direto.
Vou mostrar um exemplo prático. Suponha que no triângulo ABC, o ponto P está sobre AB tal que AP = 2·PB, e o ponto Q está sobre AC tal que AQ = QC. A reta PQ intersecta BC em R. Queremos encontrar BR/RC. Neste caso, aplicamos Menelao no triângulo ABC com a transversal PQR. Os pontos P, Q, R estão respectivamente nos lados AB, AC e BC (ou seus prolongamentos). A fórmula dá: (AP/PB) · (BR/RC) · (CQ/QA) = 1
Substituindo: (2/1) · (BR/RC) · (1/1) = 1, logo BR/RC = 1/2. Pronto. Isso leva uns 30 segundos se você já decorou a configuração. Agora a parte que ninguém ensina. Quando o ponto P não está num lado mas sim no prolongamento, o Menelao ainda funciona, mas o sinal muda. O produto continua sendo 1, mas alguns dos segmentos precisam ser tratados com orientação. Eu tenho um caso específico aqui: num problema real, o ponto P estava no prolongamento de AB além de B, e eu esqueci de verificar isso. Apliquei a fórmula como se P estivesse entre A e B, e o resultado veio negativo. O erro foi achar que tinha cometido uma conta errada, quando na verdade o próprio enunciado indicava que a razão seria negativa se considerássemos segmento orientado. A correção foi simplesmente aceitar que R também cairia no prolongamento de BC, e o valor absoluto dava a razão pedida. Perdi 15 minutos só para perceber isso. A lição: sempre verifique se o ponto está entre os vértices ou fora, antes de aplicar qualquer teorema.
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Outro erro comum é usar Ceva quando Menelao era o certo, ou vice-versa. Ceva é para concurrence de cevianas. Menelao é para colinearidade de pontos. Se o problema fala que três pontos estão numa mesma reta, é Menelao. Se fala que três retas passam por um mesmo ponto, é Ceva. Misturar os dois é a causa número um de erro nesse tipo de exercício. Se o problema envolve comprimentos absolutos e não só razões, o método das coordenadas é mais seguro. Coloque A na origem, B em (b, 0), e C em qualquer ponto (c_x, c_y). Expresse P e Q em função dos parâmetros dados e calcule as interseções com álgebra pura. Dá trabalho, mas nunca erra. Leva cerca de 5 a 8 minutos por problema, contra 30 segundos do método sintético, mas você não corre o risco de aplicar o teorema errado.
Há ainda o caso das medianas e baricentro. Se P é o ponto médio de AB, ou se as retas traçadas passam pelo baricentro, você pode usar a propriedade de que o baricentro divide cada mediana na razão 2:1 a partir do vértice. Isso é útil em problemas onde várias cevianas são concurrentes e uma delas é mediana. Sem essa propriedade, você gastaria muito mais tempo montando equações. O problema principal com todos esses métodos é que eles funcionam bem quando o triângulo é qualquer um. Se o triângulo for retângulo ou isósceles, às vezes vale a pena explorar essas simetrias antes de partir para fórmulas gerais. Eu já resolvi um problema que parecia exigir Menelao com cálculos pesados, e ao notar que o triângulo era isósceles com ângulo de 60 graus no vértice, percebi que na verdade era equilátero. Aí tudo se simplifica drasticamente porque todos os lados são iguais e as razões se tornam triviais. Levei 4 minutos identificando a simetria que estava escondida.
Resumindo sem resumo: desenhe antes de confiar, verifique posição dos pontos, escolha Menelao para colinearidade e Ceva para concurrence, e use coordenadas quando a geometria sintética não estiver dando claro. Se o triângulo tiver simetria especial, explore isso. E de preferência treine com pelo menos vinte exercícios variados antes de pensar que domina o assunto.
