Como fazer fatoração prima na prática
A gente aprende isso na escola e depois esquece. Mas vez ou outra aparece a necessidade — seja pra simplificar fração, achar MMC ou MDC, ou resolver um problema de divisão justa. O método é simples, mas tem pegadinhas que todo mundo erra. A técnica básica é dividir o número pelo menor primo possível (começa pelo 2) e continuar dividindo o quociente até chegar em 1. Cada divisor primo que você usar vira um fator da decomposição. Repetidos contam quantas vezes apareceram.
decomponha em fatores primos cada número 18 84 e 242
Vamos com os três números que o pessoal costuma pedir. Começando pelo 18. 18 dividido por 2 dá 9. O 9 não é divisível por 2, então sobe pro próximo primo, que é 3. 9 dividido por 3 dá 3. Esse 3 dividido por 3 dá 1. Pronto. O 18 se decompõe em 2 × 3².
Agora o 84. Esse já exige mais passos. 84 é par, então divide por 2 e dá 42. 42 também é par, divide por 2 de novo e sobra 21. O 21 não é divisível por 2, testa o 3: 21 dividido por 3 dá 7. O 7 é primo, então fecha aí. O resultado é 2² × 3 × 7. Por fim, o 242. É par, então 242 ÷ 2 = 121. Aí o negócio trava — 121 não divide por 3 (soma dos dígitos é 4), não divide por 5 (não termina em 0 ou 5). Testa 7 e não dá certo. Testa 11: 121 ÷ 11 = 11. Outro 11 dividido por 11 dá 1. Então 242 = 2 × 11².
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Achei uma coisa interessante quando fiz isso pro 242. A maioria das pessoas para no 121 e acha que é primo, porque não tá na tabuada do dia a dia. Eu já bati cabeça com isso. A dica é saber de cor que 11² = 121 e 13² = 169. Qualquer número entre 100 e 200 que for quadrado perfeito de um primo acima de 10, aí dá pra fechar rápido. Tem um detalhe que os livros não falam: a ordem dos fatores não importa, mas escrever em ordem crescente é prática boa pra conferir depois. Se você listar como 3 × 2 × 3 em vez de 2 × 3², tá certo, mas parece errado pra quem tá avaliando. Padrão técnico é sempre primeiro o 2, depois 3, depois 5, 7, 11... na sequência.
O outro erro comum é confundir números compostos com primos. O 9 não é primo, o 15 não é primo, o 21 não é primo. Se você parar na primeira divisão e achar que chegou no fator primo, provavelmentee errar. Sempre checa se o quociente é divisível por algum primo menor que a raiz quadrada dele. Depois de fazer esses três, a gente nota um padrão. O 18 tem dois fatores primos distintos. O 84 tem três. O 242 tem dois, mas um deles aparece ao quadrado. A quantidade de fatores primos distintos (contando repetição ou não) às vezes resolve problemas de contagem sem você precisar fazer tudo do zero.
Se você tiver um número muito grande e quiser acelerar, o método de tentativa de divisão funciona até uns 1000, depois fica inviável manualmente. Pra números maiores, existe o crivo de Eratóstenes pra listar primos primeiro, ou testes mais avançados como Pollard's rho. Mas pra três números desses, a mão mesmo é mais rápido do que procurar ferramenta.
