A gente começa decompondo cada número em fatores primos
É o método mais direto que existe. Se você tiver pressa ou números bem grandes, prefere algoritmo de Euclides, mas para estes três dá pra fazer de cabeça. 39 se divide por 3 e vira 13. 65 se divide por 5 e vira 13. 91 todo mundo acha que é primo no começo porque não é divisível por nada óbvio, mas 7 vezes 13 dá exato. Os fatores são:
39 = 3 × 13 65 = 5 × 13
91 = 7 × 13 O único fator comum entre os três é 13. MDC igual a 13.
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determine o mdc dos números 39 65 e 91
No dia a dia eu costumo verificar isso rápido com a calculadora do Python. import math e math.gcd(39, 65, 91) retorna 13 em menos de meio segundo. Mas o bacana é entender o que acontece por trás quando você tem números maiores que não cabem no papel. Uma coisa que as pessoas sempre erram é tentar fazer mdc de três números de uma vez só sem decompor corretamente. Tem gente que faz mdc(39, 65) primeiro, acha 13, e acha que acabou. Isso funciona por acaso aqui porque 91 também é divisível por 13, mas não é regra. O correto é pegar o resultado e calcular mdc(13, 91). Se o terceiro número não fosse múltiplo de 13, o mdc conjunto cairia para 1 e a pessoa jamais descobriria o erro sem conferir o passo final.
Outro detalhe prático: quando os números são todos múltiplos de um mesmo primo grande, como 13 aqui, o mdc já fica evidente rápido. Mas se você tiver situações como mdc(143, 187, 221), onde os fatores primos são 11×13, 11×17 e 13×17, não há fator comum aos três. O mdc é 1 e muita gente insiste em achar algum divisor porque os números parecem relacionados. A decomposição é infalível nesse ponto. Tentar chute e erro com divisibilidade leva mais tempo do que simplesmente fatorar cada um. Existe também o limite desse método. Para números acima de 10 dígitos, decomposição manual praticamente não funciona na mão. Aí entra o algoritmo de Euclides iterado, que é muito mais eficiente. Ele funciona assim: você pega dois números, divide o maior pelo menor, pega o resto, e repete com o divisor e o resto até o resto zerar. O último divisor é o mdc. Para três números, aplica duas vezes seguidas.
No caso dos nossos números: mdc(39, 65) dá resto 26, depois mdc(65, 26) dá resto 13, depois mdc(26, 13) zera. Resultado 13. Depois mdc(13, 91) já zera direto. Resultado final 13. Leva cinco divisões no total. Sem decomposição, sem lista de fatores, só conta simples. Se você quer automatizar isso, qualquer linguagem de programação resolve. Em JavaScript é const mdc = (a, b) => b === 0 ? a : mdc(b, a % b); mdc(39, mdc(65, 91)). Em C++ tem std::gcd na biblioteca numeric desde C++17. Não tem segredo.
O que eu recomendo na prática é nunca confiar no resultado de cabeça sem passar pela verificação. Eu já perdi tempo procurando um erro de cálculo em um projeto de simplificação de frações porque o mdc tinha sido achado por intuição e estava errado. Depois passei a usar sempre a decomposição ou Euclides como validação cruzada. Leva um minuto a mais, mas evita retrabalho.
