Como calcular e praticar diagonais de um polígono
A fórmula básica é simples, mas os exercícios costumam pegar os alunos em pegadinhas. A quantidade de diagonais de um polígono de n lados se calcula com n vezes n menos 3 dividido por 2. O número 3 vem do fato de que de cada vértice não se traça diagonal para ele mesmo nem para os dois vizinhos adjacentes. No meu tempo estudando geometria, eu errava sempre na mesma coisa: confundia o número de diagonais com o número de triângulos que se formam a partir de um vértice. Os triângulos são n menos 2, já as diagonais são n por n menos 3 dividido por 2. São conceitos diferentes que aparecem nos mesmos exercícios.
Diagonais de um polígono exercícios para praticar
Vou colocar alguns exercícios típicos que caem em provas e listas de casa. O primeiro pede a quantidade de diagonais de um decágono. Aplicando a fórmula diretamente: dez vezes oito dividido por dois resulta em quarenta diagonais. Fácil, mas o próximo já exige um raciocínio reverso. Suponha que um polígono tenha quarenta cinco diagonais. Quantos lados ele possui? Aqui é preciso resolver uma equação do segundo grau. Multiplicando ambos os lados por dois, chegamos a n ao quadrado menos três n menos noventa igual a zero. Aplicando a fórmula de Bhaskara, o discriminante dá noventa e sete, e o resultado positivo é n igual a dez. O polígono é um decágono.
Outro exercício comum mistura diagonais com ângulos internos. Perguntam a soma dos ângulos internos de um polígono cuja quantidade de diagonais é sessenta e seis. Primeiro se acha o número de lados. N vezes n menos 3 dividido por 2 igual a sessenta e seis leva a n ao quadrado menos três n menos cento e trinta e dois igual a zero. A raiz positiva dá n igual a onze. Um hendecágono. A soma dos ângulos internos é n menos dois vezes cem graus, ou seja, noventa graus vezes nove, resultando em novecentos e dez graus. Tem também a questão sobre vértices e diagonais. Se cada vértice de um polígono regular recebe cinco diagonis, quantas diagonais há no total? De cada vértice partem n menos 3 diagonais, então cinco mais três dá oito lados menos dois, ou seja, n igual a oito. O polígono é um octógono. O total de diagonais é oito vezes cinco dividido por dois, que dá vinte.
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Um detalhe que quase ninguém menciona nos livros: polígonos convexos e côncavos usam a mesma fórmula. A diferença é que em polígonos côncavos algumas diagonais ficam fora da figura. A contagem numérica não muda, mas se o exercício pedir diagonais internas estritas, aí sim você precisa analisar a concavidade. Eu já vi questão de olimpíada que usava isso pra confundir os candidatos. Outra pegadinha frequente envolve a diferença entre diagonais que partem de um único vértice e o total do polígono. Vinte e cinco alunos em cada turma minha erravam essa. A questão dizia que um polígono tem trinta e cinco diagonais partindo de um vértice só. A resposta imediata seria trinta e cinco vezes n, mas na verdade de um vértice partem n menos três diagonais. Então n menos três igual a trinta e cinco dá n igual a trinta e oito. O total de diagonais seria trinta e oito vezes trinta e cinco dividido por dois, que dá seiscentos e setenta.
Para quem quer praticar mais, recomendo fazer a sequência inversa: given o número de diagonais, achar o polígono. Isso treina resolução de equações quadráticas e fixa a fórmula melhor do que apenas aplicar direto. Comece com valores pequenos, como doze diagonais, que dá hexágono, e suba até duzentas e oitenta diagonais, que corresponde a um dodecágono. Exercícios que pedem a média aritmética entre o número de lados e o número de diagonais também aparecem. Se um polígono tem tal que n mais n vezes n menos três dividido por dois é igual a cento e quinze, resolva para n. Multiplicando por dois e organizando, chega-se a n ao quadrado mais n menos duzentos e trinta igual a zero. A raiz positiva é onze, então o polígono é um hendecágono com onze lados e sessenta e seis diagonais.
Não existe atalho mágico além de decorar a fórmula e praticar a versão reversa. O erro mais comum é esquecer de dividir por dois no final ou confundir n menos três com n menos dois. Quando estiver resolvendo, anote sempre o que cada termo representa: n são os vértices, n menos três são as diagonais que saem de cada um, e a divisão por dois elimina a dupla contagem porque cada diagonal conecta dois vértices. Se quiser mais lista de exercícios, pode procurar por material de livros como Imenes e Lellakis ou coleções de vestibulares. A base é a mesma: aplicar a fórmula, resolver equações e não confundir os conceitos. Quem domina isso consegue resolver qualquer problema do tipo em menos de dois minutos, desde que preste atenção nos detalhes.
