Entendendo other e another em inglês
Essa é uma dúvida que aparece todo dia em sala de aula e nos fóruns. A confusão é real porque, basicamente, ambas as palavras indicam algo adicional ou diferente do que já foi mencionado. Mas o uso delas depende de variáveis simples que, se você não prestar atenção, vai errar até em frases óbvias. O another é uma contração de an + other. Isso já te dá uma dica importante: ele sempre se refere a algo singular, conta, não definido. Se você quer dizer "mais um" ou "outro" no sentido de mais uma unidade de algo contável, esse é o caminho.
Já o other funciona de forma diferente. Ele pode ser usado tanto com substantivos no singular quanto no plural, e também com substantivos incontáveis. A escolha entre one/another/other/the other varia conforme o contexto e a quantidade de coisas que estão sendo consideradas.
A diferença de other e another na prática
Vou direto ao ponto. Another é sempre singular. Other pode ser singular ou plural. Essa é a regra base que resolve 80% dos casos. Quando você fala "I need another coffee", está pedindo mais uma xícara. Quando diz "I need other coffee", soa estranho porque other sozinho não carrega a ideia de "mais um" da mesma forma. O problema é que as coisas ficam mais complicadas quando entram em cena artigos definidos e situações específicas. O the other indica o restante de um grupo conhecido. Se você tem dois irmãos e um mora em São Paulo, o outro mora em... bem, no outro lugar. Nesse caso, usa-se the other porque o grupo é fechado e conhecido.
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Quando o grupo é maior ou indefinido, aí sim entra o other sem o artigo. "Some people like jazz, other people prefer rock". Não é um número fixo de pessoas, então não se usa o artigo definido.
Como usar na vida real
Na hora de escrever ou falar, o teste mais rápido é: você está falando de algo singular ou plural? Singular, não definido, e quer dizer "mais um" another. Singular ou plural, definido, e quer dizer "o restante" the other. Singular ou plural, não definido, e quer dizer "outros" other. Tem um caso que sempre causa dor de cabeça e que eu aprendi na marra. Já corrigi trabalho de aluno que escreveu "I need another informations". A palavra information é incontável. NUNCA se usa another com incontáveis. O correto ali seria "more information" ou "another piece of information". Esse erro é mais comum do que você imagina porque information parece contar coisas, mas gramaticalmente não conta.
Outro detalhe que pouca gente menciona: existem expressões fixas com other que não obedecem exatamente às regras que acabei de explicar. "Other than" significa "exceto". "Rather than" significa "em vez de". Nessas construções, a lógica de singular/plural não se aplica, e tentar encaixar pela regra vai te confundir. Memore essas exceções como vogais do alfabeto. Para resolver definitivamente, a melhor prática é criar frases próprias usando cada variação. Escreva cinco frases com another, cinco com the other e cinco com other. Leia em voz alta. A sonoridade ajuda muito a internalizar a diferença sem precisar decorar tabela.