Como resolver exercício de função inversa na prática
Achei que invertendo uma função era só trocar x por y e resolver, até começar a dar errado com frequência. A regra básica funciona: pegue f(x), substitua por y, troque x e y de lugar e isole y. Mas o que as listas de exercícios raramente mostram é onde isso falha.
Passo a passo direto para exercício de função inversa
Tome f(x) = 3x + 7. Troca de variável: x = 3y + 7. Isola y: y = (x - 7) / 3. Pronto, f^{-1}(x) = (x - 7) / 3. Verificação rápida: f(f^{-1}(x)) deve dar x. (3 * ((x-7)/3) + 7) = x - 7 + 7 = x. Funciona. Agora algo um pouco mais complicado. f(x) = (2x + 1) / (x - 3). Troca: x = (2y + 1) / (y - 3). Multiplica cruzado: x(y - 3) = 2y + 1. Distribui: xy - 3x = 2y + 1. Acha os y juntos: xy - 2y = 3x + 1. Fator y: y(x - 2) = 3x + 1. Isola: y = (3x + 1) / (x - 2). O domínio da função original não inclui 3, e o domínio da inversa não inclui 2. Isso não é coincidência: o domínio da inversa é o contradomínio da original, e vice-versa.
O problema que sempre aparece é quando a função não é injetora. f(x) = x^2. Tenta inverter e dá x = y^2, logo y = ±x. Qual é o correto? Nenhum dos dois sozinho forma uma função. A solução padrão nos exercícios de ensino médio é restringir o domínio para x 0, aí sim f^{-1}(x) = x. Se o enunciado não mencionar restrição, avise quem está corrigindo que a função não é invertível como está. Eu já perdi pontos em prova por esquecer essa restrição numa função quadrática com coeficiente linear. O professor escreveu "não bijetora" no canto da folha. Não disse nada durante a correção, mas eu sabia o que tinha acontecido. Desde aí, antes de qualquer inversão de quadrática, sempre verifico se há restrição de domínio implícita ou explícita.
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O que ninguém conta sobre função inversa
A inversa de uma função afim ax + b é (x - b) / a. Isso vale para qualquer a diferente de zero. Não precisa fazer todo o processo de troca se você reconhecer o padrão na hora da prova. Corta três minutos do seu tempo de resolução. Derivadas também se relacionam. Se f é diferenciável e invertível perto de um ponto a, então (f^{-1})'(f(a)) = 1 / f'(a). Isso é útil quando o exercício pede a inclinação da reta tangente à inversa num ponto específico sem precisar encontrar a fórmula da inversa. Você calcula a derivada da original no ponto correspondente e inverte o valor. Economiza álgebra pesada em funções rationais complicadas.
O ponto que mais causa confusão é a relação entre gráfico e inversa. O gráfico de f^{-1} é o reflexo do gráfico de f em relação à reta y = x. Se você desenhar isso no papel, entende por que o domínio e o contradomínio se trocam. É a única forma de visualizar por que f(x) = e^x tem inversa ln(x) e não o contrário: a exponencial vai de (-, ) para (0, ), então a logarítmica vai de (0, ) para (-, ). Um caso que eu encontrei recentemente e que gera muita dor de cabeça: f(x) = x + 1/x. Tentar isolar x em termos de y leva a uma equação quadrática em x, e você acaba com dois ramos possíveis para a inversa. Nenhum deles é função em todo o domínio. A função nem é injetora em ℝ \ {0}. Testei com valores: f(1) = 2 e f(-1) = -2, mas f(2) = 2.5 e f(0.5) = 2.5 também. Dois valores de x diferentes dão o mesmo y. Função inversa não existe nesse domínio inteiro. A resposta correta do exercício seria restringir o domínio para x > 0 ou x
0 separadamente.
Outra armadilha comum: funções com raiz. f(x) = (x - 4). O domínio começa em 4. A inversa é y = x^2 + 4, mas com a restrição x 0 porque a raiz principal só produz valores não negativos. Se você esquece de registrar essa restrição na inversa, o domínio dela fica maior do que deveria e a composição f(f^{-1}(x)) não resulta em x para valores negativos. Resumo prático: antes de escrever f^{-1}, verifique injetividade. Se a função for polinômio ímpar de grau maior que um, teste monotonia. Se for par, restrinja o domínio. Se tiver racional, verifique assíntotas e domínios excluídos. Anotar o domínio e o contradomínio original antes de qualquer manipulação evita metade dos erros que eu vejo nos fóruns.
