Exercicios Sobre Pa E Pg

PA e PG no dia a dia dos exercícios

A maioria dos estudantes começa com PA e PG porque aparece em todo simulado, vestibular e concurso. A questão é que o conteúdo parece simples até o primeiro exercício que foge do padrão. Eu me lembro de corrigir uma prova onde o candidato aplicou a fórmula do termo geral da PA num problema que era, na verdade, geométrico disfarçado. O aluno errava por pressão, não por falta de base.

O que é PA

Progressão Aritmética é uma sequência onde cada termo, a partir do segundo, é obtido somando uma constante ao anterior. Essa constante se chama razão (r). Se você tem 3, 7, 11, 15..., a razão é 4. O termo geral é dado por: an = a1 + (n - 1) × r

A soma dos n primeiros termos usa a fórmula: Sn = n × (a1 + an) / 2

Isso é o básico. A parte que as pessoas travam é identificar quando um problema pede uso dessa estrutura. Nem todo enunciado diz explicitamente "progressão aritmética". Às vezes ele descreve uma situação real, como um trabalhador que ganha R$ 50 a mais por dia trabalhado, ou um prédio com andares cuja altura aumenta sempre em 3 metros.

O que é PG

Progressão Geométrica funciona de forma análoga, mas com multiplicação em vez de adição. Cada termo é o anterior multiplicado por uma constante chamada razão (q). Sequência exemplo: 2, 6, 18, 54... razão igual a 3. O termo geral é:

an = a1 × q^(n - 1) E a soma dos n primeiros termos:

Sn = a1 × (q^n - 1) / (q - 1) Para PG infinita decrescente, onde |q|

1, a soma tende a:

S = a1 / (1 - q)

exercicios sobre pa e pg

Exercício 1 - PA básica

Qual o décimo termo da PA (5, 8, 11, ...)? Identifico a1 = 5 e r = 3. Aplico a fórmula:

a10 = 5 + (10 - 1) × 3 = 5 + 27 = 32 Resposta: 32.

Exercício 2 - Soma em PA

Calcule a soma dos 20 primeiros termos da PA (2, 6, 10, ...). a1 = 2, r = 4. Primeiro preciso do vigésimo termo:

a20 = 2 + 19 × 4 = 78 Depois a soma:

S20 = 20 × (2 + 78) / 2 = 20 × 40 = 800

Exercício 3 - PG de juros compostos

Um capital de R$ 1.000 rende 10% ao mês. Qual o montante após 6 meses? Isto é PG com a1 = 1000 e q = 1,10. O montante no sexto mês é o termo a6:

a6 = 1000 × (1,10)^5 = 1000 × 1,61051 R$ 1.610,51 Repare que usei expoente 5 porque a1 já é o valor inicial do mês zero. Muitos estudantes erram aqui usando n = 6 no expoente.

Exercício 4 - PA com condição

Em uma PA, o terceiro termo vale 17 e o sexto vale 38. Determine a razão e o primeiro termo. Tenho a3 = a1 + 2r = 17 e a6 = a1 + 5r = 38. Subtraindo a primeira equação da segunda:

(a1 + 5r) - (a1 + 2r) = 38 - 17 3r = 21 r = 7

Volto a uma das equações: a1 + 2×7 = 17 a1 = 3

A PA é (3, 10, 17, 24, 31, 38, ...).

Exercício 5 - PG infinita

Calcule a soma da PG infinita (12, 6, 3, 1,5, ...). a1 = 12, q = 0,5. Como |q|

1, posso usar a soma infinita:

S = 12 / (1 - 0,5) = 12 / 0,5 = 24

Exercício 6 - Situação prática mista

Uma escada tem 10 degraus. O primeiro mede 20 cm e cada degrau seguinte mede 3 cm a mais que o anterior. Qual a altura total da escada? Isto é uma PA com a1 = 20 e r = 3. Preciso da soma dos 10 primeiros termos. O décimo termo é:

a10 = 20 + 9 × 3 = 47 cm S10 = 10 × (20 + 47) / 2 = 10 × 33,5 = 335 cm

A altura total é 3,35 metros.

Exercício 7 - PG com razão negativa

Encontre os cinco primeiros termos da PG com a1 = 80 e q = -1/2. Os termos são: 80, -40, 20, -10, 5. Note que a alternância de sinais confunde quem nunca viu razão negativa. A fórmula funciona normalmente, mas a intuição do estudante costuma falhar aqui.

Exercício 8 - Problema de concurso

Um funcionário recebe salário inicial de R$ 1.200 e tem reajuste de R$ 80 por ano. Qual será seu salário no décimo quinto ano? Qual o total recebido ao longo dos 15 anos? Salário no 15º ano é termo de uma PA:

a15 = 1200 + 14 × 80 = 1200 + 1120 = R$ 2.320 Total recebido: soma dos 15 termos.

S15 = 15 × (1200 + 2320) / 2 = 15 × 1760 = R$ 26.400

Pegadinhas que aparecem frequente

A pegadinha mais comum é confundir posição com quantidade. Quando o exercício pergunta "qual o nono termo", n = 9. Quando pergunta "qual a soma dos nove primeiros", também n = 9, mas a aplicação da fórmula de soma exige o último termo. Erro de calcular an antes de calcular Sn é o mais frequente. Outra pegadinha clássica em PG: o índice no expoente. Se a1 corresponde ao mês inicial, o valor final do quinto mês usa expoente 4, não 5. Já vi gente perde ponto por isso em simulados, então é bom treinar essa diferença com clareza.

Um caso específico que encontrei muitas vezes: exercícios que apresentam uma PA crescente e pedem o valor do termo quando ele ultrapassa determinado patamar. Aí não basta a fórmula do termo geral. Você precisa isolar n na desigualdade an > valor-alvo. Para PA isso é simples. Para PG com q > 1, envolve logaritmo, o que costuma assustar. A dica prática é testar valores de n diretamente quando o número de termos for pequeno, e usar log apenas quando necessário.

Como construir sua própria lista de exercício

A melhor forma de fixar é variar os tipos. Comece com termos gerais, depois soma, depois problemas contextualizados, e por fim misturas com outras matérias como juros compostos e física cinemática. Tente criar pelo menos dez exercícios de cada modelo antes de pular para o próximo nível. Repetição com variação é o que faz o raciocínio ficar automático durante a prova. Se quiser material pronto para praticar, os livros didáticos padrão como o do Ianhez ou o do Dante trazem boas listas organizadas por dificuldade. Online, sites como Khan Academy e exercícios de concursos antigos no Portal do STR também servem bem. O importante é resolver, verificar o erro, e refazer o mesmo tipo até acertar sem consultar a fórmula.

Ao final, a questão não é decorar an = a1 + (n-1)r. A questão é saber olhar um problema e reconhecer que ele esconde uma PA ou uma PG. Quando você treina identificação, a fórmula vira ferramenta e não obstáculo.