Números terminados em 5 e primalidade
Existe uma pegadinha recorrente que aparece todo ano na primeira lista de exercícios de teoria dos números: o aluno olha para um número como 105 ou 235 e pensa "será que é primo?" antes de perceber que está olhando para um múltiplo óbvio de 5. A resposta curta é que sim, existe exatamente um número natural terminado em 5 que é primo. Esse número é o 5. Nenhum outro.
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Existe algum número natural terminado em 5 que é primo?
A razão é direta. Todo número natural terminado em 5 é divisível por 5. Isso vem da definição de divisibilidade: se o último algarismo é 5, o número pode ser escrito como 10k + 5, que fatora como 5(2k + 1). Para que ele seja primo, ele não pode ter divisores além de 1 e dele mesmo. O único caso em que isso funciona é quando o próprio número é 5, porque aí o fator 5 é o número. Qualquer outro número terminado em 5 — 15, 25, 35, 105, 995 — tem pelo menos dois fatores diferentes de 1 e dele mesmo, então é composto. No mundo real, eu já vi gente programar um teste de primalidade ingênuo que começa tentando dividir por 2, depois por 3, e só então chega no 5. Funciona, mas é lento para números grandes porque não elimina os divisíveis por 5 logo de cara. A correção que eu uso hoje em dia é simples: antes de qualquer coisa, verifico se o número termina em 0 ou 5. Se terminar, devolvo "composto" imediatamente, exceto quando o número é exatamente 5. Isso corta cerca de 40% dos candidatos no crivo de trial division, dependendo do intervalo que você está procesando.
O detalhe que muita gente perde é que essa regra só se aplica ao sistema decimal. Em base 2 (binário), por exemplo, números terminados em 1 podem ser primos sem nenhum problema — e ali a terminação não impõe divisibilidade nenhuma. A restrição "terminado em 5" é específica da representação em base 10, e o motivo é puramente aritmético: 5 divide qualquer potência de 10 mais 5. É por isso que a pergunta existe algum número natural terminado em 5 que é primo tem uma resposta tão curta. O teorema básico da aritmética não faz exceções, só mostra que o 5 é um caso especial por ser ele próprio primo. Se você for testar primos em um projeto de verdade, não gaste tempo rodando Miller-Rabin ou trial division para candidatos terminados em 5. Filtragem prévia custa quase nada e remove uma fração significativa de chamadas desnecessárias. O resto dos números terminados em 3, 7 e 9 é que merece a atenção completa do algoritmo.
