A fórmula da PG infinita serve pra quando você tem uma progressão geométrica com razão entre -1 e 1 (exclusivo) e quer saber a soma de todos os termos, mesmo sendo uma sequência que não termina. A conta em si é simples demais pra maioria dos casos:
Fórmula da PG infinita
S = a1 / (1 - q)
Onde a1 é o primeiro termo e q é a razão. Só isso.
O que a maioria dos livros não deixa claro é o critério de convergência. Se |q| >= 1, a fórmula não vale e a soma diverge. Tente aplicar ela com q = 2 e você vai terminar com um número negativo, o que não faz sentido lógico nenhum. Já vi aluno entregar isso em prova e ainda ficar surpreso.
Na prática, o problema mais chato que eu já encontrei foi quando a razão era uma fração com variável. Tipo, a PG era (3, 3k, 3k², ...) e o exercício pedia pra encontrar os valores de k em que a soma converge e qual seria esse valor. A solução exige resolver |k| < 1 antes de qualquer coisa. O erro comum é pular essa etapa e aplicar a fórmula direto, o que gera resultados inválidos para k = -1,5 por exemplo.
Outra coisa que ninguém explica direito: se q for negativo, o denominador vira (1 - q) = (1 + |q|), e o resultado ainda é finito. Isso confunde bastante quem tá acostumado só com razões positivas. A sequência (4, -2, 1, -0.5, ...) converge sim, pra 8/3. Testei isso inúmeras vezes em planilha porque no começo eu desconfiava.
Um detalhe técnico que facilita a vida: quando o problema entrega a PG a partir do segundo termo ou num índice qualquer, você não recalcula tudo. Só ajusta o a1 pra aquele termo e continua. Já vi gente refazer a razão toda do zero por insegurança. Não precisa.
Limitações reais do método: ele só funciona pra |q| < 1. Se a razão for exatamente 1 ou -1, a soma não converge. Se o problema envolver uma PG finita disfarçada de infinita — o que acontece muito em exercícios de concurso — aplicar a fórmula errada te dá resposta totalmente equivocada. Nesses casos, use a soma parcial S = a1(q - 1)/(q - 1).
Outro cenário onde a fórmula mostra a cara: modelos de desconto infinito, renda perpetua, séries temporais com decaimento geométrico. Em finanças, todo mundo esquece que o modelo pressupõe taxa constante, o que na prática nunca é verdade por muito tempo.
Se quiser exercitar, monte uma PG com a1 = 5 e q = 0.4. A soma é 5 / (1 - 0.4) = 5 / 0.6 = 8,333... Confere no Excel somando os primeiros mil termos. Vai chegar lá em pouco tempo.
