Como resolver problemas de contagem de algarismos: o caso 1 a 30
Vou falar sobre aquele problema clássico onde jose escreveu todos os numeros de 1 a 30 e pergunta-se quantas vezes o algarismo 1 aparece. É uma questão que cai todo ano em OBMEP, PAEBES e similares. A ideia é simples na superfície, mas tem armadilhas que todo mundo armador erra na primeira vez.
jose escreveu todos os numeros de 1 a 30
Primeiro, entenda o que está sendo pedido. José listou os números: 1, 2, 3... até 30. A pergunta geralmente é: quantas vezes o dígito 1 foi escrito? Não quantos números contém o dígito 1, mas quantas vezes o algarismo 1 apareceu no total. A abordagem correta é dividir por posição. Algarismo das unidades e algarismo das dezenas. Trate cada posição separadamente e depois some. Quando você tenta contar tudo de uma vez, sem estruturar, comete erros de contagem dupla ou omissão. Isso é o problema mais comum que eu vejo.
Vamos às unidades. De 1 a 30, o dígito 1 aparece nas unidades nos seguintes números: 1, 11, 21. São três ocorrências na casa das unidades. Agora as dezenas. O dígito 1 aparece na casa das dezenas de 10 até 19. São dez números, cada um com um 1 na posição das dezenas. Total: 10 ocorrências na casa das dezenas. Soma: 3 + 10 = 13. O algarismo 1 aparece 13 vezes quando José escreve todos os números de 1 a 30.
👉 Clique no botão abaixo para saber mais sobre o assunto!
O erro frequente é achar que 11 conta apenas uma vez. Não conta. 11 tem dois algarismos 1 — um nas dezenas e outro nas unidades. Cada algarismo é contado individualmente. Já vi candidato marcar 12 ou até 11 como resposta porque pulou essa regra básica. É importante ler a pergunta com atenção extrema. Se perguntam "quantos números contêm o dígito 1", a resposta seria diferente. Seriam 12 números (1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21). Mas como contam algarismos, o 11 dois, não um. A técnica de divisão por posição funciona para qualquer intervalo. Se o problema fosse de 1 a 100, você faria o mesmo: unidades repetem a cada 10 números (10 vezes, de 1 a 100), dezenas precisam ser analisadas caso a caso (0-9 não têm 1 na dezena, 10-19 têm 10 ocorrências, 20-99 não têm 1 na dezena). O resultado seria 20 para o intervalo 1 a 100. Para intervalos maiores como 1 a 1000, o padrão se mantém, mas a análise exige mais cuidado com as bordas.
Uma nuance que poucos mencionam: quando o intervalo não começa no 1 ou não termina no 9, 99, 999, você precisa ajustar manualmente. No nosso caso, 1 a 30 é "quase" um intervalo completo de dezenas, mas corta em 30 exatamente. Se fosse até 29, a resposta seria a mesma, pois o 30 não adiciona nenhum 1. Se fosse até 31, ganharia mais um algarismo 1 na unidade do 31. Na prática, eu já corrijo provas onde o aluno fez a conta certa mas marcou a alternativa erra por confusão entre "quantos números" e "quantos algarismos". Vale a pena grifar na prova qual é a pergunta real antes de começar a conta. Isso economiza tempo e evita retrabalho.
O método também se aplica a outros algarismos. Se a questão pedisse quantas vezes o dígito 2 aparece de 1 a 30, a lógica é idêntica: unidades (2, 12, 22) = 3 ocorrências; dezenas (20 a 29) = 10 ocorrências. Total 13 também. Curiosamente, 1 e 2 dão o mesmo resultado nesse intervalo, mas não é regra geral.
