Como resolver o problema: Joshua escreveu cada número entre 1 e 30
Vou direto ao ponto porque esse tipo de exercício aparece o tempo todo em materiais de olimpíada de matemática e concursos, e a maioria das pessoas perde tempo tentando contar um por um quando dá pra resolver em dois minutos com lógica. O problema básico pede, em geral, algo como: quantos algarismos Joshua escreveu? Ou quantas vezes um determinado algarismo apareceu? A primeira coisa que todo mundo faz errada é começar a anotar 1, 2, 3... até 30 e contar. Funciona para números pequenos, mas já começa a dar erro de contagem lá pelo 17 ou 18 porque cansa a vista. Eu já vi gente errar essa questão simplesmente por perder o fio da meada na metade do caminho.
joshua escreveu cada numero entre 1 e 30
A abordagem correta divide o problema em faixas. Entre 1 e 9 temos nove números de um dígito, então são 9 algarismos. Entre 10 e 30 temos 21 números de dois dígitos, o que dá 42 algarismos. Somando tudo, o total de algarismos escritos é 51. Só isso. Se a pergunta for mais específica, como "quantas vezes o algarismo 1 aparece", aí sim vale a pena fazer uma contagem sistemática por posição, mas sem listar os números. No caso do 1:
👉 Clique no botão abaixo para saber mais sobre o assunto!
Na casa das unidades, o 1 aparece em 1, 11, 21. São três ocorrências. Na casa das dezenas, o 1 aparece em todos os números de 10 a 19, que são dez números. Total de algarismos 1: treze. Para o algarismo 0, a contagem é ainda mais simples. O 0 só aparece em 10, 20 e 30. Total: três vezes.
O algarismo mais frequente nesse intervalo é o 1, com treze ocorrências. O menos frequente é o 0, com apenas três. Esse dado contra-intuitivo costuma ser a parte da questão que pega os alunos desprevenidos, porque a intuição diz que todos os dígitos deveriam aparecer mais ou menos na mesma quantidade, mas não é assim que funciona quando o intervalo não termina num múltiplo de 10 redondo. Outra pegadinha comum é confundir "números escritos" com "algarismos escritos". Joshua escreveu 30 números, mas usou 51 algarismos. A diferença é pequena aqui, mas em versões maiores do mesmo problema (até 100, por exemplo) essa confusão transforma 147 algarismos em 100 números e estraga toda a resposta.
Se você precisa de material prático, recomendo procurar os cadernos do Projeto OBMEP ou do IME (Instituto de Matemática Pura e Aplicada) que tratam de contagem e sistemas de numeração. Não tem link direto pra download aqui porque os materiais oficiais estão no site do comité organizador da olimpíada, mas a busca por "projeto obmec cadernos de problemas algarismos" leva direto ao que interessa. O vídeo-aula da professora Flávia Lemos sobre o tema também explica esse tipo de problema com os mesmos raciocínios que mostrei acima, só que com exemplos visuais que ajudam quando você está começando. O que realmente funciona na hora da prova é treinar a divisão por faixas e a contagem por posição. Listar os números inteiros é válido como verificação, mas nunca como método principal. O tempo acaba antes e o erro de contagem entra junto.
