Progressão Aritmética na prática
Pg aparece em todo material didático do ensino médio e nos primeiros semestres de curso técnico ou superior, mas a maioria dos exercícios que você encontra online é genérica. A dificuldade real está em encontrar uma lista de exercícios de pg com gabarito que realmente tenha questões bem elaboradas e respostas corretas, algo que não é tão comum assim. Existem basicamente dois tipos de material. O primeiro são listas genéricas geradas automaticamente por sites educacionais, onde os números são bonitos mas as perguntas são rasas. O segundo são listas criadas por professores para aplicar em turmas reais, que costumam ter problemas mais realistas e gabaritos confiáveis, mas ficam espalhados em sites de faculdades, blogs de matemática e grupos de professores.
lista de exercícios de pg com gabarito
Para montar sua própria lista confiável ou encontrar materiais já prontos, o caminho mais direto é procurar em repositórios de universidades federais brasileiras. Sites como o do IMPA, da USP, da Unicamp e da UFMG frequentemente disponibilizam listas de exercícios de seus cursos de graduação em matemática e áreas afins. Essas listas geralmente vêm com resolução detalhada, o que vale mais do que um simples gabarito. Outra opção são plataformas como o Khan Brasil, o Curso Enem Gratuito e sites especializados como o Matemática no Concursos, que compilam exercícios organizados por tema e nível de dificuldade.
Como usar esses exercícios de verdade
Não adianta fazer dezenas de exercícios se você não sabe identificar onde erra. O problema que eu vejo sempre é o mesmo: as pessoas calculam a razão, acham que dominaram pg e começam a repetir mecanismos sem entender quando cada fórmula se aplica. Isso funciona para questões de múltipla escolha fáceis, mas quando aparece uma situação-problema com uma pg decrescente dentro de outra sequência, o aluno trava. A soma dos n primeiros termos é onde a maioria errou quando eu estava estudando. Eu fiz uma lista inteira achando que sabia calcular a soma, até cair numa questão em que o enunciado pedia a soma de uma pg que começava na posição 7, não na posição 1. Apliquei a fórmula padrão e o resultado veio errado. A correção foi simples: calcular S primeiro e subtrair do resultado que eu já tinha, ou ajustar o primeiro termo e o número de termos conforme a nova posição. Isso mudou completamente como eu passo a resolver qualquer exercício futuro.
Abaixo segue uma lista básica que cobre os principais tipos de questão que você vai encontrar, seguida do gabarito comentado para você conferira resposta e o raciocínio.
Lista de exercícios
1. Determine o décimo termo da PG (3, 6, 12, ...). 2. Calcule a razão da PG (80, 40, 20, ...).
3. Qual é a soma dos cinco primeiros termos da PG (1, 2, 4, ...)? 4. Determine o sétimo termo de uma PG cujo primeiro termo é 2 e a razão é 3.
5. Sabendo que o terceiro termo de uma PG é 18 e a razão é 3, qual é o primeiro termo? 6. Calcule a soma dos termos da PG (2, 6, 18, 54, 162).
7. Determine quantos termos tem a PG (5, 10, 20, ..., 320). 8. Uma PG tem primeiro termo igual a 100 e razão igual a 0,5. Qual é o décimo termo?
9. Qual é a soma dos dez primeiros termos da PG (10, 5, 2,5, ...)? 10. Em uma PG decrescente, o primeiro termo é 243 e a razão é 1/3. Calcule o quinto termo.
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Gabarito comentado
1. R = 2. Usando a fórmula geral a = a · r¹, temos a = 3 · 2 = 3 · 512 = 1536. 2. Dividindo qualquer termo pelo anterior: 40 ÷ 80 = 0,5. A PG é decrescente.
3. S = a · (r - 1) / (r - 1) = 1 · (32 - 1) / 1 = 31. 4. a = 2 · 3 = 2 · 729 = 1458.
5. a = a · r² 18 = a · 9 a = 2. 6. S = 2 · (3 - 1) / (3 - 1) = 2 · 242 / 2 = 242.
7. a = 5 · 2¹ = 320 2¹ = 64 n - 1 = 6 n = 7. 8. a = 100 · (0,5) = 100 · 0,001953125 0,195.
9. S = 10 · (0,5¹ - 1) / (0,5 - 1) = 10 · (-0,9990234375) / (-0,5) 19,98. 10. a = 243 · (1/3) = 243 · (1/81) = 3.
Erros que todo mundo comete
O erro mais frequente em lista de exercícios de pg com gabarito é confundir progressão geométrica com progressão aritmética na hora de aplicar a fórmula. Se o enunciado diz que a diferença entre termos consecutivos é constante, você está diante de uma PA, não de uma PG. Use a razão multiplicativa apenas quando o enunciado mostrar multiplicação ou divisão entre termos sucessivos. Outro erro é esquecer que a fórmula da soma S = a · (r - 1) / (r - 1) só funciona quando r 1. Se a razão for igual a 1, a soma é simplesmente n vezes o primeiro termo. Isso parece óbvio, mas eu já vi pessoas aplicando a fórmula com r = 1 e obtendo divisão por zero.
Quando se trata de PIs (progressões geométricas infinitas com |r|
1), a soma dos termos tende a um valor finito dado por S = a / (1 - r). Muitas listas não cobram esse caso, mas ele aparece com frequência em vestibulares e concursos mais avançados.
Onde encontrar mais exercícios
Além dos sites institucionais das universidades, o Banco de Questões do IBGE e os editais antigos de concursos da área financeira têm listas muito boas. A banca FGV costuma cobrar pg em questões de juros compostos, então exercitar com provas anteriores dela é extremamente útil. O material do Professor Velloso no YouTube também compila listas organizadas, mas verifique o gabarito dele com atenção. Em um vídeo eu vi um exercício com o gabarito errado na descrição, provavelmente por um erro de digitação na potência. Sempre confira a conta antes de confiar.
Se você quiser prática extra, o site do Projeto Arara faz listas gratuitas com resolução passo a passo. É material de boa qualidade e o gabarito é confiável. A desvantagem é que nem sempre tem questões sobre pg infinita oupgs com razão negativa aplicada a problemas de decréscimo populacional, então você vai precisar buscar em outros lugares para cobrir esse tópico. O ponto mais importante é fazer os exercícios tentando resolver antes de olhar o gabarito. Deixar a resposta ao lado enquanto você calcula cria uma ilusão de competência que dura até a prova. Anote seu erro, entenda o porquê e refaça o exercício depois de um dia ou dois. Esse intervalode prática espaçada é o que realmente fixa o conteúdo a longo prazo.
