Encontrando o maior número natural com três algarismos diferentes
A resposta direta é 987. É fácil demais se você não pensar no que está sendo perguntado.
o maior número natural com três algarismos diferentes
Para construir esse número, você precisa seguir uma regra simples: pegar os dígitos mais altos possíveis e organizá-los em ordem decrescente, da esquerda para a direita. Os nove dígitos disponíveis são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Você não pode repetir nenhum deles. Então, começa pelo maior: 9. Em seguida, pelo próximo maior disponível: 8. Depois, o próximo: 7. O resultado é 987. Não adianta tentar colocar um zero no meio ou trocar a ordem. Se o zero entrar, você está usando um dígito menor do que poderia usar, e o número fica menor. Se inverter, você perde o valor posicional. 987 é o topo da pirâmide.
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Eu já vi gente complicar isso desnecessariamente em planilhas antigas. Um colega meu tentou automatizar a geração desses números num script Python pra um concurso interno, e o script simplesmente pegava todos os números de 100 a 999, separava os dígitos em arrays, verificava se havia repetições e depois ordenava o resultado de forma decrescente. Funcionou, mas foi trabalho pra nada. A lógica matemática pura resolve em duas linhas de pensamento. Um detalhe que os iniciantes esquecem: se a restrição fosse "três algarismos distintos sem o dígito 9", a resposta muda completamente. Aí seria 876. Ou se proibisse o zero também, o maior número de três algarismos distintos seria ainda 987, porque o zero nunca entra no topo de qualquer forma. O zero só aparece quando estamos falando do menor número, como no caso de 102 ou 203. Nunca na construção do maior.
Outra armadilha comum é confundir com permutações. Pergunta de prova muitas vezes pede quantos números de três algarismos distintos existem, não apenas o maior. Aí a coisa muda. Seriam 9 × 9 × 8 = 648 possibilidades, porque o primeiro dígito não pode ser zero, o segundo pode ser qualquer um dos nove restantes, e o terceiro qualquer um dos oito que sobraram. Mas como o foco aqui é só o maior, a conta é trivial. 987 é o número. Não tem segredo. Se alguém tentar transformar isso num exercício filosófico ou em algoritmo complexo, ela está apenas procurando dificuldade onde não existe.
