Como encontrar o próximo primo depois de qualquer número
Pessoas costumam perguntar isso em fóruns de criptografia ou revisão de código. A resposta curta é que o menor número primo maior do que 150 é 151, mas a pergunta real por trás disso é quase sempre: como você verifica isso na prática sem depender de uma tabela pronta.
o menor número primo maior do que 150 é 151
Vou explicar o processo real. Comece testando divisibilidade por primos pequenos. Para verificar se 151 é primo, você só precisa testar divisores até a raiz quadrada dele, que é aproximadamente 12,29. Isso significa que os únicos candidatos são 2, 3, 5, 7 e 11. 151 não é par, então 2 já sai. A soma dos dígitos é 7, então não é divisível por 3. Não termina em 0 ou 5, então 5 também não serve. 151 dividido por 7 dá 21 com resto 4. 151 dividido por 11 dá 13 com resto 8. Nenhum divisor funcional. 151 é primo. Esse método de teste de divizibilidade por tentativa até a raiz quadrada funciona bem para números pequenos. Quando você sobe para faixas acima de 10.000, começa a notar que o tempo de verificação manual se torna impraticável. Eu passei horas revisando chaves RSA mal geradas no início da minha carreira, onde um programador esqueceu de validar que os fatores eram realmente primos. Um desses casos envolvia um número que parecia primo mas era divisível por 104729, um primo que eu nem lembrava que existia naquela faixa.
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O problema é que testar primalidade apenas até a raiz quadrada é O(sqrt(n)), o que para números grandes fica lento. Existem alternativas melhores. O teste de Miller-Rabin é um teste de primalidade probabilístico que a maioria das bibliotecas criptográficas usa. Ele não prova primalidade de forma determinística, mas com bases suficientes o erro cai para algo próximo de zero. Para fins práticos, é o que todo mundo usa. Se você está implementando isso em Python, pode simplesmente usar sympy.nextprime(150) e receber 151 na hora. Se não pode depender de bibliotecas externas, escreva uma função simples de Miller-Rabin com bases fixas para o intervalo que você precisa. Para números abaixo de 3.317.044.064.279.371, as bases 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 e 37 são suficientes para um teste determinístico. Isso elimina a incerteza probabilística completamente dentro de uma faixa enorme.
Uma armadilha comum é confundir números primos com números primos relativos. Dois números podem não compartilhar fatores sem que cada um seja primo. Também é frequente achar que todos os números ímpares acima de certo ponto são primos. 153, por exemplo, é divisível por 9. 155 por 5. 157 é primo, sim, mas aí você tem que verificar. O salto de 150 para 151 parece óbvio quando você sabe a resposta, mas o caminho até ela exige verificação sistemática. Outro ponto que muitos ignoram: a densidade de primos diminui conforme os números crescem. Ao redor de 150, a probabilidade de um número aleatório ser primo é cerca de 1 em ln(150), que dá aproximadamente 1 em 5,01. Isso significa que em média você testa cerca de 5 números antes de encontrar um primo. Nas proximidades de 1 milhão, esse intervalo sobe para cerca de 14 números. A coisa fica significativamente mais lenta.
Se o seu objetivo é apenas responder à pergunta original, a verificação manual com divisores até a raiz quadrada basta. Se precisa fazer isso programaticamente em escala, use Miller-Rabin ou uma biblioteca especializada. Tabelas de primos pré-computadas existem, mas carregar uma tabela de 10 milhões de entradas só para encontrar o próximo primo depois de 150 é exagero desnecessário.
