Como encontrar o MMC entre 150 e 6.897
Achei essa questão numa prova de concurso público há uns anos, dessas que parecem triviais até você precisar escrever o procedimento completo. O cálculo em si é direto — decompor ambos os números em fatores primos e depois aplicar a regra —, mas tem uma armadilha que peguei mais de uma vez: escrever os fatores na ordem errada e cometer um erro de multiplicação nas horas finais.
O mmc de 150 e 6.897 é 344.850
Para chegar lá, primeiro fazemos a fatoração de cada número. Vou mostrar passo a passo. 150: comece dividindo por 2, dá 75. 75 por 3, sobra 25. E 25 é 5². Então temos 150 = 2 × 3 × 5². Simples.
6.897: aqui é onde a coisa começa a crescer. Some os dígitos: 6 + 8 + 9 + 7 = 30, então é divisível por 3. 6.897 ÷ 3 = 2.299. Agora vem o trabalho. Tenta dividir por 7, não dá. Por 11… 11 × 209 = 2.299. Pronto. 209 também se decompõe: 11 × 19. Logo, 6.897 = 3 × 11² × 19. Agora o MMC: pega cada base prima presente em qualquer uma das fatorações e eleva ao maior expoente encontrado.
Primos envolvidos: 2, 3, 5, 11, 19. - 2: aparece só em 150, com expoente 1 2¹ - 3: aparece em ambos, máximo expoente 1 3¹ - 5: aparece só em 150, com expoente 2 5² - 11: aparece só em 6.897, com expoente 2 11² - 19: aparece só em 6.897, com expoente 1 19¹
MMC = 2 × 3 × 5² × 11² × 19 = 2 × 3 × 25 × 121 × 19. Conta passo a passo para não errar: 2 × 3 = 6. 6 × 25 = 150 (o próprio 150 reaparece aqui, claro). 150 × 121 = 18.150. 18.150 × 19 = 344.850.
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Verificação: 344.850 ÷ 150 = 2.299. E 344.850 ÷ 6.897 = 50. Ambos inteiros. Confere.
Quando o método quebra
Depois dessa conta eu perdi tempo numa situação parecida com números bem maiores — MMCs de 7 dígitos — e percebi algo que não estava nos livros didáticos: usar a fatoração manual para números acima de 10.000 é extremamente propenso a erro. Eu já tinha perdido 40 minutos num cálculo desses e o resultado final estava errado porque errei na conta de 19 × 18.150. O atalho que eu uso hoje é bem mais eficiente para números grandes: calcular primeiro o MDC (Máximo Divisor Comum) usando o algoritmo de Euclides, e depois aplicar a relação MMC(a,b) = (a × b) / MDC(a,b). É mais rápido e muito menos sujeito a erros de multiplicação.
No caso de 150 e 6.897: - 6.897 ÷ 150 = 45 resto 147 - 150 ÷ 147 = 1 resto 3 - 147 ÷ 3 = 49 resto 0 Então MDC(150, 6897) = 3. Isso já confirma minha fatoração anterior: ambos compartilham apenas o fator 3.
MMC = (150 × 6.897) / 3 = 1.034.550 / 3 = 344.850. Mesmo resultado, metade do esforço.
O que esse número significa na prática
Sabendo que o MMC de 150 e 6.897 é 344.850, imagine duas engrenagens: uma tem 150 dentes e gira uma vez a cada segundo, a outra tem 6.897 dentes e gira uma vez a cada segundo também. Elas vão se alinhar na mesma posição inicial exatamente a cada 344.850 segundos — ou seja, cerca de 95 horas e meia. Não é algo que aconteça no dia a dia, mas é o tipo de cálculo que aparece em problemas de sincronização, frações equivalentes e até na resolução de equações diofantinas. Se você está estudando para prova de matemática básica, saiba que o caminho mais seguro é dominar os dois métodos (fatoração e Euclides) e escolher o que te dá menos dor de cabeça no momento. Em concursos, onde o tempo aperta, eu recomendo ir de Euclides sempre que os números forem grandes.
