Como verificar se um número é primo, usando o 49 como exemplo
Achei que todo mundo já sabia distinguir primo de composto, mas vejo isso em todo lugar. Vou direto ao ponto. Para saber se um número é primo, você divide ele pelos números primos menores ou iguais à sua raiz quadrada. Se nenhuma divisão der resto zero, o número é primo. É isso. Não tem mágica.
Preciso aprender se o numero 49 é primo?
Vamos testar com o 49. A raiz quadrada de 49 é 7. Então você precisa testar só os primos até 7: 2, 3 e 5. Divide 49 por 2 — dá 24 resto 1. Por 3 — dá 16 resto 1. Por 5 — dá 9 resto 4. Chegou no 7 e ainda não achou divisor. Mas espere, 7 é igual à raiz quadrada, então é preciso testar também. 49 dividido por 7 dá exatamente 7, resto zero. Portanto 49 não é primo. Ele é composto, e a fatoração é 7². Esse é o erro mais comum que eu vejo: as pessoas param na raiz quadrada e esquecem de testar o próprio valor da raiz quando ela é inteira. O teste só termina em ou antes da raiz quadrada. Quando a raiz é exata, aquele número prima é divisor sim.
Eu já me ferri com isso no trabalho
Numa implementação de teste de primalidade para um sistema de geração de chaves RSA simples, eu tinha um bug clássico. Eu calculava a raiz quadrada e usava um loop com a condição `i < Math.sqrt(n)` em vez de `i <= Math.sqrt(n)`. Números que eram quadrados perfeitos de primos, tipo 49, 121, 169, passavam como primos. A diferença entre usar `<` e `
=` resolveu. Foi meio vergonhoso descobrir depois que o bug já estava em produção por duas semanas. Se você tá implementando isso do zero, prefira o método de trial division com incremento de 2 após testar o 2 e o 3. Ou melhor ainda, use uma biblioteca consolidada. Escrever seu próprio teste de primalidade parece fácil até o dia em que ele falha silenciosamente com um número composto.
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Insights que ninguém conta
Primeiro: não adianta testar divisores pares acima de 2. Você já descartou todos eles na primeira divisão. Só precisa testar ímpares, e dentre os ímpares, só os primos importam de verdade. Mas testar só os ímpares já reduz pela metade as operações comparado a testar tudo. Segundo: para números grandes, trial division vira perda de tempo. A complexidade é O(sqrt(n)), o que significa que para um número com 20 dígitos você precisaria de cerca de 10^10 operações no pior caso. Isso não roda em tempo útil. Nesse cenário, testes probabilísticos como Miller-Rabin são o padrão. Eles não provam primalidade com 100% de certeza, mas com k=5 rodadas a chance de erro é inferior a 1 em 1024, e com k=10 fica praticamente irrelevante para uso prático.
O terceiro ponto importante: existe uma categoria especial de primos chamados primos fortes que são usados em criptografia justamente porque números compostos construídos a partir deles são mais difíceis de fatorar. Se você está estudando isso pra algum projeto de segurança, preste atenção nisso. A diferença entre escolher um primo qualquer e um primo forte pode ser a diferença entre uma chave segura e uma que quebra em horas.
Limitações do método
O teste de trial division funciona bem para números até uns 10^12. Acima disso, o tempo de execução começa a doer. Para numbers maiores que 10^16, até o Miller-Rabin pode ter falsos positivos em raros casos, aí entra o teste AKS que é determinístico mas lento na prática. O equilíbrio certo depende do seu contexto: se é pra um script rápido que roda esporadicamente, trial division com otimizações basta. Se é pra gerar chaves ou validar números grandes em produção, use uma biblioteca como GMP ou a implementação nativa do OpenSSL. Volta ao 49. Ele não é primo. O negócio é prestar atenção no limite do loop e não confiar na intuição. Números que são quadrados de primos sempre vão enganar quem não testa o divisor exato da raiz.
