O que são algarismos distintos na prática
Quando alguém fala em algarismos distintos, está simplesmente dizendo que nenhum dígito pode se repetir dentro daquele número. É isso. O 357 é válido porque todos os algarismos são diferentes entre si. O 337 não é, porque o algarismo 3 aparece duas vezes. Em provas de concursos e no ensino médio, esse conceito aparece o tempo todo em análise combinatória, quase sempre junto com contagem e probabilidade.
Como montar números com algarismos distintos
O jeito mais direto de contar quantos números você forma com algarismos distintos é usar o Princípio Multiplicativo. Você escolhe o primeiro dígito, depois o segundo, restringindo as opções a cada passo. Vou dar um exemplo prático: quantos números naturais de três algarismos distintos existem? A primeira casa não pode ser zero, então sobram 9 opções (1 a 9). A segunda casa pode ser zero, mas não pode repetir o algarismo que já foi usado na primeira posição, então sobram 9 opções. A terceira casa não pode repetir nenhum dos dois primeiros, restando 8 opções. O cálculo é 9 × 9 × 8 = 648. Esse resultado é diferente de 9 × 9 × 9 = 729, que seria o total de números de três dígitos sem a restrição de distinctude. A diferença parece pequena, mas em problemas de concurso ela muda completamente a resposta final.
Se a pergunta fosse sobre números de quatro algarismos distintos, o cálculo continua no mesmo ritmo: 9 × 9 × 8 × 7 = 4536. A lógica se mantem. O que muda é só o número de fatores no produto.
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Algarismos distintos e a pegadinha do zero
O zero é sempre o problema nesses exercícios. Muita gente esquece que ele pode aparecer na segunda, terceira ou qualquer casa posterior, mas nunca na casa da esquerda quando estamos falando de números naturais sem leading zeros. Eu costumava errar esse ponto nas minhas bancadas de revisão. Um dia, numa questão de matemática do CACD, eu calculei o total de números pares de três algarismos distintos como 9 × 9 × 5, multiplicando direto sem separar os casos. O problema era que, se o último algarismo fosse zero, a segunda casa teria 9 opções; se o último não fosse zero, a segunda casa teria apenas 8 opções, porque o zero permanecia disponível mas um dígito par já estava ocupado na última posição. A correção foi dividir em dois casos: caso o algarismo final seja zero, e caso não seja. No primeiro caso, temos 9 × 9 × 1 = 81 números. No segundo, temos 8 × 8 × 4 = 256 números. O total correto é 337, não 405. Separações de caso resolvem a maioria dessas armadilhas.
Conceitos avançados que quase ninguém explica direito
Um detalhe que os materiais didáticos geralmente omitem: algarismos distintos não significam algarismos consecutivos. O 135 e o 153 usam os mesmos algarismos {1, 3, 5}. Eles são permutações diferentes, mas ambos têm algarismos distintos. Isso é importante porque em problemas de permutação simples, a ordem importa. Se a questão pede quantos números de três algarismos distintos podemos formar usando exatamente os dígitos 1, 3 e 5, a resposta é 3! = 6. São 135, 153, 315, 351, 513, 531. Isso parece óbvio, mas em provas de múltipla escolha, a alternativa que apresenta apenas o número de combinações (C = 1) costuma ser a armadilha. Outro ponto negligenciado é a diferença entre o conjunto de dígitos disponíveis e a restrição de distinctude aplicada ao resultado final. Se o enunciado diz "formar números com os algarismos 0, 2, 4, 6, 8 sem repetição", você está lidando com números pares de cinco algarismos distintos. Mas se o zero está na primeira posição, o número deixa de ter cinco algarismos. A solução padrão é calcular todas as permutações dos cinco dígitos e subtrair aquelas em que o zero ocupa a primeira posição, que equivale a 4! = 24. O resultado é 5! 4! = 120 24 = 96 números válidos.
O que é algarismo distinto e quando ele não ajuda
O conceito é sólido enquanto você está lidando com conjuntos pequenos e restrições lineares. Ele se rompe quando a questão introduz divisibilidade, somas restritas ou relações entre posições. Nesses cenários, o Princípio Multiplicativo puro já não basta e você precisa combinar com outras técnicas, como soma de casos ou recursão. Também vale notar que, em probabilidades, contar números com algarismos distintos é fácil. Calcular a probabilidade de que um número gerado aleatoriamente tenha essa propriedade já exige cuidado com o espaço amostral. Para números de até 6 dígitos, a probabilidade cai bastante: cerca de 30% dos números de 5 dígitos terão algarismos distintos, e esse percentual diminui rapidamente à medida que o número de dígitos aumenta, simplesmente porque o espaço de possíveis colisões cresce exponencialmente.
A dica mais útil que eu tenho é prática mesmo. Sempre que o exercício mencionar algarismos distintos, escreva imediatamente as posições do número com linhas embaixo (_ _ _ _) e preencha de trás para a frente quando houver restrição de paridade, ou da esquerda para a direita quando a restrição for apenas de não repetição. A ordem das restrições define a ordem do preenchimento. Esse pequeno ajuste evita metade dos erros que eu vejo em materiais de revisão.
