A regra simples que todo mundo sabe
Você usa obrigada quando é mulher falando. Uso masculino é obrigado. O feminino muda para obrigada. Isso é o padrão da norma culta e é o que você vai ver em qualquer gramática.
obrigado ou obrigada para mulher
A questão real não é a regra em si. É o que acontece quando você está em uma situação prática e aparece uma dúvida. Vou citar um caso que aconteceu comigo recentemente. Eu estava respondendo um email profissional e a pessoa que me escreveu era mulher. Escrevi "obrigado" no final, pensando na concordância com o substantivo implícito "agradecimento", que é masculino. A pessoa me corrigiu, dizendo que, como eu sou mulher, deveria ser "obrigada". Fiquei na dúvida porque já tinha visto gente defendendo o uso do masculino por causa da elipse. A correção foi simples: quando o falante é mulher, o adjetivo concord com ela, não com a palavra elíptica. Então, no lugar de ficar caçando se existe um substantivo masculino oculto, eu simplesmente sigo o gênero do falante. Mulher fala "obrigada". Homem fala "obrigado".
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Tenha em mente que existem contextos onde a coisa complica um pouco mais. Se você estiver em uma frase como "Sou muito grato a você", aí o adjetivo é "grato", não "obrigado". A lógica é a mesma, só muda a palavra. O ponto importante é: a concordância recai sobre quem fala, não sobre o que está sendo agradecido. A principal pegadinha que vejo as pessoas cometendo é achar que pode usar "obrigado" como uma forma invariável. Não pode. Em português, adjetivo concorda. Esse vício de linguagem é muito comum em regiões onde o uso masculino se tornou quase universal por hábito, mas em textos formais e em contextos onde a norma é levada a sério, o erro fica evidente.
Outra situação que gera confusão é quando a pessoa fala no plural. Se várias mulheres agradecem, é "obrigadas". Se várias pessoas, misto, é "obrigados". Se só homens, "obrigados". Simples. O uso de "obrigada" por mulheres não é opção estilística, é regra gramatical. Ignorar isso em textos formais pode dar a impressão de descuido com a língua. Na fala cotidiana, muita gente não liga, mas em ambientes profissionais, acadêmicos ou jurídcos, a forma correta faz diferença.
