Encontrando os divisores de um número
A pergunta que você está fazendo tem uma resposta direta, mas o processo por trás dela é mais interessante do que muita gente imagina. Vou explicar como eu faço isso na prática, porque já perdi tempo suficiente tentando lembrar se havia algum atalho. Os divisores de 90 são: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45 e 90. São doze no total.
O que acontece é que a decomposição em fatores primos de 90 é 2 × 3² × 5. A partir daí, todo divisor possível é um produto desses mesmos fatores primos elevados a potências menores ou iguais às que aparecem na fatoração original. Isso significa que você pode calcular a quantidade de divisores sem precisar testar um por um, usando simplesmente a fórmula (1+1) × (2+1) × (1+1), que te dá 12. Funciona porque cada fator primo pode aparecer com expoente zero até seu máximo permitido.
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quais sao os divisores de 90
No caso específico de 90, a lista completa de divisores é: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90. Note que o par 1 e 90 sempre existe, assim como 2 e 45, 3 e 30, 5 e 18, 6 e 15, 9 e 10. O fato de haver exatamente 6 pares faz sentido porque doze divisores divididos por dois resulta em seis. Eu já tive um problema real com isso numa situação em que precisei simplificar frações envolvendo múltiplos números e o fator comum precisava ser identificado rapidamente. Quando os números eram pequenos como 90, a decomposição em primos resolve rápido. Quando cheguei num número primo grande, tipo um dos que apareciam num exercício mais avançado, a coisa travava porque o teste de divisibilidade ia demorando. Minha solução foi parar de testar números aleatórios e ir direto pela análise de fatoração, o que reduziu drasticamente o tempo gasto.
Uma coisa que as pessoas normalmente esquecem é que divisores negativos também existem. Tecnicamente, -1, -2, -3, etc. também dividem 90 perfeitamente. Só que na maioria dos contextos práticos, como simplificação de frações e fatoração, trabalhamos exclusivamente com os positivos. Se você precisa encontrar divisores de números bem grandes com frequência, recomendo usar uma abordagem sistemática de fatoração em vez de tentativa e erro. Testar todos os números de 1 até a raiz quadrada do valor em questão é confiável, mas lento. A fatoração prima primeiro e depois a combinação dos fatores é muito mais rápida na prática.
