Entendendo formação de centenas a partir de algarismos
Esse tipo de problema aparece com frequência em listas de exercícios de matemática do ensino fundamental, mas as armadilhas não são triviais. O enunciado geralmente pede: dado um conjunto de dígitos, quantos números de três algarismos (ou seja, centenas) podem ser formados, respeitando ou não a repetição de cifras.
Quantas centenas pode ser formada: o conceito básico
A questão central é aplicada de permutações e combinações com restrições. Se você tem os algarismos disponíveis e precisa montar números de três dígitos, o cálculo varia drasticamente dependendo de duas condições: se os algarismos podem se repetir e se o zero pode ocupar a posição das centenas. Vamos ao método. Quando não há repetição permitida e o zero não pode ser o primeiro dígito, você calcula assim. Para a casa das centenas, você tem (n-1) opções, excluindo o zero. Para a dezena, sobram (n-1) algarismos disponíveis. Para a unidade, sobram (n-2). O produto desses fatores dá o total. Se a repetição for permitida, a conta muda para (n-1) vezes n vezes n.
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Tive um aluno uma vez que montou uma lista com todos os números possíveis a partir dos algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e simplesmente começou a contar. Levou uns 40 minutos. Eu expliquei que com o princípio multiplicativo a resposta sai em dois minutos, mas ele ficou desconfiado. Foi quando eu pedi para ele verificar uma lista parcial e mostrei que os números formados coincidiam exatamente. A confiança no método veio depois. O erro mais comum que eu vejo é esquecer que zero na posição das centenas transforma o número em algo de dois algarismos, não de três. Esse detalhe elimina uma fração significativa das combinações possíveis. Quando os algarismos são {0, 1, 2}, por exemplo, os únicos números válidos de três centenas são 102, 120, 201 e 210. São quatro, não seis. O cálculo rápido seria 2 vezes 2 vezes 1, que confirma o resultado manualmente.
Outro ponto que costuma causar confusão é a diferença entre arranjos e permutações. Se o conjunto tem exatamente três algarismos distintos e nenhum zero, o número de centenas formáveis é igual a 3 fatores igual a 6. Isso é apenas uma permutação simples. Mas se o zero estiver presente, a fórmula de permutação pura não se aplica diretamente, e você precisa ajustar manualmente excluindo as formações inválidas. Na prática, quando o problema menciona "sem repetição" e contém o algarismo zero, eu recomendo fazer o seguinte passo a passo: calcule quantas formações existiriam se o zero fosse permitido na primeira casa, depois subtraia aquelas onde o zero ocupa a centena. O resultado é o número correto de centenas que podem ser formadas.
Resumindo o processo para resolver na hora: identifique se há repetição permitida, verifique se o zero está no conjunto de algarismos, aplique o princípio multiplicativo ajustado e, se necessário, elimine os casos onde o zero fica na frente. Isso resolve a maioria dos exercícios que caem em provas e listas de revisão.
