A fórmula que todo mundo esquece
A contagem de diagonais em qualquer polígono segue uma lógica bem simples, mas as pessoas costumam complicar. A fórmula geral é d = n(n - 3) / 2, onde n é o número de lados. Você multiplica o número de vértices por quantos vértices ele consegue conectar sem virar lado do polígono, e divide por dois porque cada diagonal é contada duas vezes — uma de cada ponta. Aplicando isso ao triângulo: n = 3, então d = 3(3 - 3) / 2 = 3 × 0 / 2 = 0. O resultado é zero. Não há diagonais possíveis em um triângulo porque cada vértice já está conectado aos outros dois vértices por meio dos lados. Não sobra nenhum par de vértices não adjacentes para formar uma diagonal.
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Quantas diagonais tem um triângulo
A resposta direta é nenhuma. Zero. É uma daquelas perguntas que parecem armadilha, e às vezes é isso mesmo que o examinador quer testar: se você aplica a fórmula cegamente ou entende o que ela representa geometricamente. Na prática, já vi gente errar esse cálculo porque tenta raciocinar por intuição ao invés de confirmar com a fórmula. "Bem, deve ter alguma diagonal interna, né?" Não tem. Se você desenhar um triângulo e tentar ligar dois vértices que não sejam vizinhos, não vai conseguir, porque todos os vértices são vizinhos entre si. Isso só muda a partir do quadrado, onde já aparecem as primeiras diagonais — duas delas, para ser exato.
O que também vale lembrar é que a fórmula funciona para polígonos convexos. Em polígonos côncavos, a contagem de diagonais continua a mesma pelo cálculo, mas algumas diagonais vão cair fora da região interna do polígono. Para o triângulo isso não gera diferença, já que o resultado é zero de qualquer forma, mas é um detalhe que costuma passar despercebido em provas mais elaboradas. Outro ponto que as pessoas não percebem: o triângulo é o único polígono com zero diagonais. A partir do quadrado (n = 4), o número de diagonais começa a crescer. Pentágono tem 5, hexágono tem 9, heptágono tem 14. A progressão é quadrática, não linear. Se você precisa calcular para n grande, use a fórmula. Fazer contagem manual a partir de n = 20 já vira trabalho desnecessário e propenso a erro.
