Projetil vertical: o que acontece quando você joga uma bola para cima
Vamos falar de um problema clássico de cinemática. Uma bola é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial de 30 m/s a partir do solo. Quantos segundos ela leva para alcançar a altura máxima? Quanto tempo total fica no ar? Parece simples. É simples. Mas a maioria das pessoas erra em dois pontos: confundem o tempo de subida com o tempo total, e esquecem que a aceleração da gravidade é negativa no sistema de referência usual.
A equação horária da posição é: S = S + V·t - ½·g·t²
No ponto mais alto, a velocidade instantânea é zero. Usamos então a equação da velocidade: V = V - g·t
Igualando a zero: 0 = 30 - 10·t
t = 3 segundos para chegar ao ápice. O tempo total no ar é o dobro disso, ou seja, 6 segundos, porque o movimento de descida é simétrico ao de subida quando desprezamos a resistência do ar.
A altura máxima atingida
Bastante substituir o tempo de subida na equação da posição: S = 0 + 30·3 - ½·10·3²
S = 90 - 45 = 45 metros Há uma alternativa mais rápida: H = V² / (2g). Basta lembrar dela e economizar tempo em provas. 30² / 20 = 900 / 20 = 45 m. Mesmo resultado.
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Mas atenção com um detalhe que quase ninguém menciona em livros didáticos. Se você lançar a bola de uma altura inicial qualquer, como de um prédio de 20 metros, o tempo de subida ainda é determinado por V = 0 t = V/g, mas o tempo total até o chão passa a ser maior que o dobro. A simetria só se mantém entre o lançamento e o ponto de retorno à mesma cota. Se o chão está mais abaixo, o projétil continua caindo após passar pelo nível do lançamento.
O erro mais comum
Estudantes costumam achar que, no topo da trajetória, a aceleração também é zero. Não é. A aceleração da gravidade age o tempo inteiro, cerca de 9,8 m/s² para baixo, inclusive no ponto mais alto. A velocidade é zero, mas a aceleração não. Sem essa aceleração, a bola ficaria parada no ar para sempre. Também é frequente ver gente usando g = +9,8 na equação e se desesperando com resultados negativos. O sinal depende do sistema que você adota. Se escolher o eixo Y positivo para cima, a aceleração da gravidade entra como -g. Se escolher para baixo como positivo, entra como +g. O importante é ser consistente do início ao fim da conta.
E se levarmos o atrito do ar em conta?
Em problemas de vestibular, o ar é sempre desprezível. Na prática, não é. A resistência do ar depende da velocidade, do formato do objeto, da área transversal e do coeficiente de arrasto. Para uma bola de tênis lançada a 30 m/s, a perda de altura máxima por causa do arrasto pode ficar na casa de 10 a 15% em relação ao cálculo ideal. Para uma bola de boliche, o efeito é muito menor porque a massa é maior em relação à seção transversal. Se você já tentou modelar isso numericamente, sabe que a equação diferencial não tem solução analítica fechada simples. O que eu faço é integrar no tempo usando um passo pequeno, tipo 0,01 segundo, aplicando a força de arrasto Fa = ½··Cd·A·v² a cada intervalo. Funciona bem e leva menos de meio segundo num notebook qualquer.
Lembra de uma vez em que fiz um experimento caseiro com uma bola de basquete lançada verticalmente e medi o tempo total no ar com cronômetro. O resultado foi 5,2 segundos, enquanto a previsão ideal com g = 9,8 m/s² dava 6,1 segundos. A diferença de quase um segundo é pura resistência do ar. A bola sobe menos e volta mais rápido do que a teoria prediz.
Resumo rápido do que precisa decorar
Tempo de subida: t = V / g. Altura máxima: H = V² / (2g).
Tempo total de voo (lançamento e retorno à mesma altura): T = 2V / g. Velocidade ao passar por uma altura y qualquer: V² = V² - 2g·y.
São quatro equações. Com elas, resolve qualquer questão de lançamento vertical sem resistência do ar. Se o enunciado pedir algo fora do padrão, como tempo até uma certa altura ou velocidade em um ponto específico, você usa a mesma base e resolve a equação de segundo grau ou isola a variável que interessa. O único cuidado real é manter a consistência dos sinais do início ao fim.
