Uma Torneira Enche Um Tanque Em 6 Horas

Resolver problemas de taxa com uma torneira e um tanque

Muita gente trava na hora de resolver esses exercícios clássicos de taxa. O problema parece simples no papel, mas quando aparecem mais torneiras, vazios ou enchendo simultaneamente, as contas começam a dar errado. Vou explicar como fazer isso sem complicar. A base é sempre a mesma: uma torneira enche um tanque em 6 horas significa que a taxa dessa torneira é de 1/6 do tanque por hora. Isso é tudo. Cada torneira tem sua própria fração horária, e você soma ou subai essas frações dependendo se ela está enchendo ou esvaziando.

uma torneira enche um tanque em 6 horas

Isso é o ponto de partida de praticamente qualquer variação desse problema. Se a torneira A leva 6 horas para encher sozinha, em 1 hora ela preenche um sexto do tanque. Em 2 horas, um terço. Em 3 horas, metade. A conta é direta até aqui. O erro mais comum que vejo é as pessoas tentarem converter tudo para minutos ou segundos antes da hora. Não faz sentido. Trabalhe com frações de hora e só converta no final se o gabarito pedir. Gastei anos corrigindo prova de aluno que errava porque transformou 6 horas em 360 minutos e depois confundiu as divisões. Fica na unidade de hora até o fechamento.

Quando aparecem duas torneiras

Se temos a torneira A que enche em 6 horas e a torneira B que enche em 4 horas, a taxa combinada é 1/6 mais 1/4. O mínimo múltiplo comum entre 6 e 4 é 12. Então fica 2/12 mais 3/12, que dá 5/12 do tanque por hora. Para encher o tanque inteiro, divide-se 1 por 5/12. O resultado é 12/5 horas, ou seja, 2 horas e 24 minutos. Tem gente que acha que pode tirar a média aritmética dos tempos. Isso não funciona. A média de 6 com 4 é 5, mas juntas elas levam 2 horas e 24 minutos. Quanto mais torneiras você adiciona, mais a diferença cresce. A soma das taxas, nunca a média dos tempos.

Torneira que entra e torneira que sai ao mesmo tempo

Aqui é onde a coisa fica interessante na prática. Se uma torneira enche o tanque em 6 horas e outra esvazia em 8 horas, e elas ficam abertas ao mesmo tempo, a taxa líquida é 1/6 menos 1/8. O MMC entre 6 e 8 é 24. Fica 4/24 menos 3/24, que dá 1/24 do tanque por hora. O tanque vai levar 24 horas para encher nessa configuração. Se a taxa de saída for maior que a de entrada, o tanque nunca enche. Já vi questão em que o enunciado não deixava claro se havia escoamento, e quem resolvia achava que tinha erro na prova. Na verdade, a resposta era simplesmente "não enche". Aprende-se a checar se a taxa resultante é positiva antes de concluir.

Variações que aparecem com frequência

Tem problema em que a torneira fica aberta sozinha por um tempo e depois outra é ligada. Nesses casos, você calcula quanto já foi preenchido no primeiro período e usa esse valor como ponto de partida. Por exemplo: a torneira A fica aberta sozinha por 2 horas. Ela preenche 2 vezes 1/6, que é 1/3 do tanque. Sobram 2/3. Se a torneira B entrar junto, vocês somam as taxas a partir dali e resolvem o resto. Outra variação clássica é quando o tanque não está vazio. Se ele já tem metade do volume e você precisa encher o restante, o trabalho a fazer é só 1/2, não 1 inteiro. A taxa continua a mesma, mas o numerador da equação muda.

Problema real que encontrei no campo

Trabalhando com sistema de abastecimento predial, tive um caso em que o projetista deixou uma bomba enchendo um reservatório e uma válvula de alívio abrindo ao mesmo tempo. O reservatório tinha capacidade de 6000 litros. A bomba despejava 1000 litros por hora, o que equivaleria a um tempo teórico de enchimento de 6 horas se não houvesse perda. A válvula de alívio, quando pressionada, descartava 750 litros por hora. A taxa líquida era 250 litros por hora. O tanque levaria 24 horas para encher, não 6. O problema é que o engenheiro calculou apenas a entrada e esqueceu a saída, e o reservatório transbordou no segundo dia porque a válvula entupiu parcialmente e a taxa de perda aumentou para 1100 litros por hora, invertendo o saldo. A correção foi colocar um sensor de nível e uma intertravamento elétrico que desliga a bomba quando a válvula de alívio abre além de certa pressão. Na teoria do exercício de matemática isso não aparece, mas na vida real a taxa não é constante. Vazão depende de pressão, pressão depende de altura da coluna d'água, e altura da coluna muda conforme o tanque sobe ou desce. Se o problema for bem elaborado, assume-se taxa constante. Se for projeto real, não assume.

Pegadinhas comuns

Uma delas é confundir taxa com tempo. Quando dizem que uma torneira enche em 6 horas, a taxa é 1/6 por hora, não 6 por hora. Inverter isso gera respostas absurdas logo no início. Outra pegadinha é o tanque ser mencionado em litros e o tempo em horas, mas a pergunta pedir resposta em minutos. Aí você precisa multiplicar a fração de hora por 60. Se o resultado for 12/5 horas, vira 2 horas e 24 minutos, ou 144 minutos, dependendo do que o enunciado pede.

Tem também a questão em que uma torneira enche em 6 horas e outra em 3 horas, e o aluno some os tempos e diz que juntas levam 9 horas. É o oposto. Juntas levam menos tempo, nunca mais.

Como revisar rápido antes de entregar

Verifique se a taxa resultante faz sentido físico. Se duas torneiras entram, o tempo final tem que ser menor que o menor tempo individual. Se entra uma e sai outra, o tempo tem que ser maior que o tempo de entrada sozinha. Se a taxa de saída for maior ou igual à de entrada, o tanque não enche. Se o enunciado não menciona velocidade constante, questione se a variação de pressão altera a taxa. Em problemas escolares, assume-se constante. Em projetos, não assume. Escreva cada taxa separadamente antes de somar ou subtrair. Anote qual é entrada e qual é saída. Use MMC para juntar frações, não tente dividir direto. Confira a unidade final. Esses três passos resolvem a maior parte dos erros que aparecem nesse tipo de exercício.