Como resolver o problema clássico de dois jornais em escola usando conjuntos e diagramas de Venn
O problema aparece em todo material didático de matemática do ensino médio brasileiro e, honestamente, a maioria dos alunos travam na hora de montar o diagrama certo. O enunciado usual é algo como: em uma escola circulam dois jornais, o jornal A e o jornal B. Uma certa quantidade de alunos lê o jornal A, outra quantidade lê o B, um grupo lê ambos e sobram alunos que não leem nenhum. A pergunta é quantos alunos existem no total ou quantos leem apenas um dos jornais. A solução depende de entender primeiro como os conjuntos se relacionam, e não de decorar uma fórmula pronta. Quando eu comecei a dar aulas, percebia que os alunos tentavam aplicar soma direta e chegavam a resultados absurdos porque esqueciam que há sobreposição entre os grupos.
Em uma escola circulam dois jornais: estrutura básica do problema
Vamos considerar os dados mais comuns que aparecem na prática. Digamos que em uma escola com 500 alunos, 320 leem o jornal A, 250 leem o jornal B e 120 leem ambos os jornais. A pergunta típica pede quantos leem pelo menos um dos jornais e quantos não leem nenhum. O erro mais frequente que eu já vi acontecer na correção de provas foi o aluno somar 320 com 250 e chegar a 570, concluíndo que existem mais leitores do que alunos matriculados. Isso acontece porque o grupo que lê ambos os jornais está sendo contado duas vezes. A correção é usar o princípio da inclusão e exclusão.
A fórmula fundamental para dois conjuntos é: |A B| = |A| + |B| - |A B|
No exemplo acima, isso dá 320 mais 250 menos 120, resultando em 450 alunos que leem pelo menos um jornal. Como a escola tem 500 alunos, restam 50 que não leem nenhum dos dois. O cálculo é simples quando você entende o porquê, mas a armadilha da dupla contagem é real e aparece em praticamente todas as turmas. Se a pergunta for quantos leem apenas o jornal A, você subtrai a interseção do total de A: 320 menos 120, igual a 200. Para apenas o jornal B: 250 menos 120, igual a 130. Esses dois números, somados com os 120 que leem ambos e os 50 que não leem nenhum, fecham exatamente os 500 alunos. Esse fechamento é um bom teste de verificação.
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Na prática, eu recomendo sempre desenhar o diagrama de Venn com dois círculos sobrepostos antes de fazer qualquer conta. Eu sei que isso parece perda de tempo para quem já decorou a fórmula, mas o diagrama mostra visualmente onde está a interseção e impede que você confunda "leem o jornal A" com "leem apenas o jornal A". Essa distinção é a causa number one de erro nesse tipo de questão. Vou contar um caso específico que tive com um aluno na semana passada. O enunciado dizia que em uma escola circulam dois jornais, o Diário Escolar e o Jornal da Manhã. 180 alunos liam o Diário, 150 liam o Jornal da Manhã, 60 liam ambos e a pergunta era quantos alunos não liam nenhum, mas o total de alunos não estava explícito no enunciado. Apenas estavam informados que 20 alunos estavam em situação especial, fora dessa lógica de leitura. O aluno estava desesperado porque achava que faltava informação.
A solução foi perceber que o total de alunos que leem pelo menos um jornal é 180 mais 150 menos 60, igual a 270. Se o enunciado informava que havia 300 alunos na escola, então 30 não liam nenhum. O problema era só de interpretação, não de matemática avançada. O aluno tinha criado uma dificuldade imaginária porque o enunciado estava mal estruturado, algo que acontece com frequência em listas de exercícios mal revisadas. Outro ponto que poucos mencionam e que é importante saber: quando o número da interseção não é dado diretamente, ele pode ser deduzido a partir do total de alunos e da quantidade que não lê nenhum dos jornais. Se o total da escola é T, e N alunos não leem nenhum jornal, então |A B| = T - N. A partir daí, |A B| = |A| + |B| - |A B|. Esse raciocínio inverso é útil em questões de prova que tentam testar se o aluno consegue manipular a fórmula em vez de apenas aplicá-la mecanicamente.
Há também uma variant comum que adiciona um terceiro jornal. Nesse caso, a coisa fica mais complexa e exige três círculos no diagrama de Venn, com sete regiões diferentes para preencher. A fórmula geral para três conjuntos é: |A B C| = |A| + |B| + |C| - |A B| - |A C| - |B C| + |A B C|
O erro típico aqui é esquecer de adicionar a interseção dos três no final. Os alunos somam os pares e param aí, e o resultado sai menor do que deveria. Se você for lidar com três jornais ou mais, o conselho prático é voltar ao diagrama e preencher da região mais interna para a mais externa. Eu costumo dizer para meus alunos que esse tipo de problema é mais sobre organização do que sobre cálculo. A aritmética é elementar. O que separa quem acerta de quem erra é a capacidade de mapear corretamente cada informação do enunciado para a região certa do diagrama. Leve cinco minutos desenhando e organizando antes de tocar na calculadora, e seus erros vão cair quase pela metade.
