Como contar as diagonais de um polígono qualquer
Achei que ia precisar desenhar tudo numa folha de papel antes de confiar no resultado. Era pra geometria combinatória algo simples, mas na prática eu já perdi horas contando linhas em polígonos irregulares desenhados à mão, especialmente quando o vértice de partida não estava claramente marcado. O que eu aprendi foi que existe uma fórmula fechada que funciona pra qualquer polígono convexo, independente de ser regular ou não.
Quantas diagonais tem um undecágono
Um undecágono tem onze lados e onze vértices. A fórmula geral pra diagonais num polígono de n lados é n multiplicado por n menos três, tudo dividido por dois. Substituindo n por onze: onze vezes oito dividido por dois dá quarenta e quatro diagonais. O raciocínio por trás é direto. De cada vértice partem diagonais para todos os outros vértices exceto ele mesmo e os dois vizinhos imediatos, que já são ligados por lados. Isso dá n menos três diagonais por vértice. Como cada diagonal é contada duas vezes (uma de cada ponta), divide-se por dois. Eu já vi gente confundir isso com o número de triângulos que se formam dentro do polígono quando se traçam todas as diagonais a partir de um único vértice. Esse número é n menos dois, então num undecágono seriam nove triângulos. Diagonais totais é outra coisa completamente diferente. A diferença entre esses dois conceitos causa erro frequente em listas de exercícios e em provas antigas do ensino médio.
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Outro detalhe que poucas pessoas mencionam: a fórmula n por n menos três dividido por dois só vale pra polígonos convexos. Num polígono côncavo com onze lados o número de diagonais que ficam totalmente dentro da região limitada ainda é quarenta e quatro, mas várias delas atravessam o exterior da figura. Se o seu problema envolve interseções internas ou regiões estreladas, a contagem muda radicalmente e você precisa de um enfoque diferente. Na prática eu uso essa fórmula todo dia quando preciso calcular áreas de lotes irregulares ou fazer malhas triangulares em softwares de CAD. O undecágono em si aparece com menos frequência que triângulos e quadriláteros, mas a lógica é a mesma. Eu já precisei ajustar o resultado quando um dos vértices estava mal definido num projeto topográfico real. O workaround que eu usei foi refazer a contagem vértice por vértice, marcando cada par de vértices que forma uma diagonal válida, e depois comparar com o resultado da fórmula. A diferença apareceu porque um dos lados era na verdade uma linha quebrada disfarçada de segmento reto.
Se você quer testar isso rápido, pode usar a própria calculadora do Windows ou qualquer planilha. A expressão é simplesmente igual a n vezes (n menos três) dividido por dois. Pra verificação, triângulo dá zero diagonais, quadrilátero dá dois, pentágono dá cinco. A sequência segue a progressão triangular deslocada. Quanto maior o n, mais rápido o número cresce de forma quadrática.
